Trigonometria Exemplos

$\sec^{2} (x) + 4 \tan (x) = 2$

Etapa 1

Substitua $\sec^{2} (x)$ por $1 + \tan^{2} (x)$ com base na identidade $\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ .

$(1 + \tan^{2} (x)) + 4 \tan (x) = 2$

Etapa 2

Reordene o polinômio.

$\tan^{2} (x) + 4 \tan (x) + 1 = 2$

Etapa 3

Substitua $u$ por $\tan (x)$ .

${(u)}^{2} + 4 (u) + 1 = 2$

Etapa 4

Mova todos os termos para o lado esquerdo da equação e simplifique.

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Etapa 4.1

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$u^{2} + 4 u + 1 - 2 = 0$

Etapa 4.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$u^{2} + 4 u - 1 = 0$

Etapa 5

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 6

Substitua os valores $a = 1$ , $b = 4$ e $c = - 1$ na fórmula quadrática e resolva $u$ .

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.1.1

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$u = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Etapa 7.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$u = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$u = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.1.3

Some $16$ e $4$ .

$u = \frac{- 4 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.1.4

Reescreva $20$ como $2^{2} \cdot 5$ .

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Etapa 7.1.4.1

Fatore $4$ de $20$ .

$u = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.1.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$u = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$u = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$u = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$

Etapa 7.3

Simplifique $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$ .

$u = - 2 \pm \sqrt{5}$

Etapa 8

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$u = - 2 + \sqrt{5}, - 2 - \sqrt{5}$

Etapa 9

Substitua $\tan (x)$ por $u$ .

$\tan (x) = - 2 + \sqrt{5}, - 2 - \sqrt{5}$

Etapa 10

Estabeleça cada uma das soluções para resolver $x$ .

$\tan (x) = - 2 + \sqrt{5}$

$\tan (x) = - 2 - \sqrt{5}$

Etapa 11

Resolva $x$ em $\tan (x) = - 2 + \sqrt{5}$ .

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Etapa 11.1

Converta o lado direito da equação em seu equivalente decimal.

$\tan (x) = 0.23606797$

Etapa 11.2

Obtenha a tangente inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da tangente.

$x = \arctan (0.23606797)$

Etapa 11.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 11.3.1

Avalie $\arctan (0.23606797)$ .

$x = 0.2318238$

Etapa 11.4

A função da tangente é positiva no primeiro e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, some o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = (3.14159265) + 0.2318238$

Etapa 11.5

Resolva $x$ .

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Etapa 11.5.1

Remova os parênteses.

$x = 3.14159265 + 0.2318238$

Etapa 11.5.2

Remova os parênteses.

$x = (3.14159265) + 0.2318238$

Etapa 11.5.3

Some $3.14159265$ e $0.2318238$ .

$x = 3.37341645$

Etapa 11.6

Encontre o período de $\tan (x)$ .

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Etapa 11.6.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Etapa 11.6.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Etapa 11.6.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{π}{1}$

Etapa 11.6.4

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 11.7

O período da função $\tan (x)$ é $π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $π$ radianos nas duas direções.

$x = 0.2318238 + π n, 3.37341645 + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 12

Resolva $x$ em $\tan (x) = - 2 - \sqrt{5}$ .

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Etapa 12.1

Converta o lado direito da equação em seu equivalente decimal.

$\tan (x) = - 4.23606797$

Etapa 12.2

Obtenha a tangente inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da tangente.

$x = \arctan (- 4.23606797)$

Etapa 12.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 12.3.1

Avalie $\arctan (- 4.23606797)$ .

$x = - 1.33897252$

Etapa 12.4

A função da tangente é negativa no segundo e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no terceiro quadrante.

$x = - 1.33897252 - (3.14159265)$

Etapa 12.5

Simplifique a expressão para encontrar a segunda solução.

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Etapa 12.5.1

Some $2 π$ a $- 1.33897252 - (3.14159265)$ .

$x = - 1.33897252 - (3.14159265) + 2 π$

Etapa 12.5.2

O ângulo resultante de $1.80262013$ é positivo e coterminal com $- 1.33897252 - (3.14159265)$ .

$x = 1.80262013$

Etapa 12.6

Encontre o período de $\tan (x)$ .

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Etapa 12.6.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Etapa 12.6.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Etapa 12.6.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{π}{1}$

Etapa 12.6.4

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 12.7

Some $π$ com todos os ângulos negativos para obter os ângulos positivos.

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Etapa 12.7.1

Some $π$ com $- 1.33897252$ para encontrar o ângulo positivo.

$- 1.33897252 + π$

Etapa 12.7.2

Substitua pela aproximação decimal.

$3.14159265 - 1.33897252$

Etapa 12.7.3

Subtraia $1.33897252$ de $3.14159265$ .

$1.80262013$

Etapa 12.7.4

Liste os novos ângulos.

$x = 1.80262013$

Etapa 12.8

O período da função $\tan (x)$ é $π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $π$ radianos nas duas direções.

$x = 1.80262013 + π n, 1.80262013 + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 13

Liste todas as soluções.

$x = 0.2318238 + π n, 3.37341645 + π n, 1.80262013 + π n, 1.80262013 + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 14

Consolide as soluções.

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Etapa 14.1

Consolide $0.2318238 + π n$ e $3.37341645 + π n$ em $0.2318238 + π n$ .

$x = 0.2318238 + π n, 1.80262013 + π n, 1.80262013 + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 14.2

Consolide $0.2318238 + π n$ e $1.80262013 + π n$ em $0.2318238 + \frac{π n}{2}$ .

$x = 0.2318238 + \frac{π n}{2}, 1.80262013 + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 14.3

Consolide $0.2318238 + \frac{π n}{2}$ e $1.80262013 + π n$ em $0.2318238 + \frac{π n}{2}$ .

$x = 0.2318238 + \frac{π n}{2}$ , para qualquer número inteiro $n$