Trigonometria Exemplos

$\sec^{2} (x) - 2 \tan^{2} (x) = - 2$

Etapa 1

Substitua $\sec^{2} (x)$ por $1 + \tan^{2} (x)$ com base na identidade $\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ .

$(1 + \tan^{2} (x)) - 2 \tan^{2} (x) = - 2$

Etapa 2

Subtraia $2 \tan^{2} (x)$ de $\tan^{2} (x)$ .

$1 - \tan^{2} (x) = - 2$

Etapa 3

Reordene o polinômio.

$- \tan^{2} (x) + 1 = - 2$

Etapa 4

Mova todos os termos que não contêm $\tan (x)$ para o lado direito da equação.

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Etapa 4.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- \tan^{2} (x) = - 2 - 1$

Etapa 4.2

Subtraia $1$ de $- 2$ .

$- \tan^{2} (x) = - 3$

Etapa 5

Divida cada termo em $- \tan^{2} (x) = - 3$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 5.1

Divida cada termo em $- \tan^{2} (x) = - 3$ por $- 1$ .

$\frac{- \tan^{2} (x)}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

Etapa 5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{\tan^{2} (x)}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

Etapa 5.2.2

Divida $\tan^{2} (x)$ por $1$ .

$\tan^{2} (x) = \frac{- 3}{- 1}$

Etapa 5.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.1

Divida $- 3$ por $- 1$ .

$\tan^{2} (x) = 3$

Etapa 6

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\tan (x) = \pm \sqrt{3}$

Etapa 7

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 7.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$\tan (x) = \sqrt{3}$

Etapa 7.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$\tan (x) = - \sqrt{3}$

Etapa 7.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$\tan (x) = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Etapa 8

Estabeleça cada uma das soluções para resolver $x$ .

$\tan (x) = \sqrt{3}$

$\tan (x) = - \sqrt{3}$

Etapa 9

Resolva $x$ em $\tan (x) = \sqrt{3}$ .

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Etapa 9.1

Obtenha a tangente inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da tangente.

$x = \arctan (\sqrt{3})$

Etapa 9.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 9.2.1

O valor exato de $\arctan (\sqrt{3})$ é $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Etapa 9.3

A função da tangente é positiva no primeiro e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, some o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = π + \frac{π}{3}$

Etapa 9.4

Simplifique $π + \frac{π}{3}$ .

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Etapa 9.4.1

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$x = π \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3}$

Etapa 9.4.2

Combine frações.

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Etapa 9.4.2.1

Combine $π$ e $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{π \cdot 3}{3} + \frac{π}{3}$

Etapa 9.4.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{π \cdot 3 + π}{3}$

Etapa 9.4.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 9.4.3.1

Mova $3$ para a esquerda de $π$ .

$x = \frac{3 \cdot π + π}{3}$

Etapa 9.4.3.2

Some $3 π$ e $π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Etapa 9.5

Encontre o período de $\tan (x)$ .

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Etapa 9.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Etapa 9.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Etapa 9.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{π}{1}$

Etapa 9.5.4

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 9.6

O período da função $\tan (x)$ é $π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{4 π}{3} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 10

Resolva $x$ em $\tan (x) = - \sqrt{3}$ .

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Etapa 10.1

Obtenha a tangente inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da tangente.

$x = \arctan (- \sqrt{3})$

Etapa 10.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 10.2.1

O valor exato de $\arctan (- \sqrt{3})$ é $- \frac{π}{3}$ .

$x = - \frac{π}{3}$

Etapa 10.3

A função da tangente é negativa no segundo e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no terceiro quadrante.

$x = - \frac{π}{3} - π$

Etapa 10.4

Simplifique a expressão para encontrar a segunda solução.

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Etapa 10.4.1

Some $2 π$ a $- \frac{π}{3} - π$ .

$x = - \frac{π}{3} - π + 2 π$

Etapa 10.4.2

O ângulo resultante de $\frac{2 π}{3}$ é positivo e coterminal com $- \frac{π}{3} - π$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Etapa 10.5

Encontre o período de $\tan (x)$ .

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Etapa 10.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Etapa 10.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Etapa 10.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{π}{1}$

Etapa 10.5.4

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 10.6

Some $π$ com todos os ângulos negativos para obter os ângulos positivos.

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Etapa 10.6.1

Some $π$ com $- \frac{π}{3}$ para encontrar o ângulo positivo.

$- \frac{π}{3} + π$

Etapa 10.6.2

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Etapa 10.6.3

Combine frações.

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Etapa 10.6.3.1

Combine $π$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Etapa 10.6.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{π \cdot 3 - π}{3}$

Etapa 10.6.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 10.6.4.1

Mova $3$ para a esquerda de $π$ .

$\frac{3 \cdot π - π}{3}$

Etapa 10.6.4.2

Subtraia $π$ de $3 π$ .

$\frac{2 π}{3}$

Etapa 10.6.5

Liste os novos ângulos.

$x = \frac{2 π}{3}$

Etapa 10.7

O período da função $\tan (x)$ é $π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{2 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 11

Liste todas as soluções.

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{4 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 12

Consolide as soluções.

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Etapa 12.1

Consolide $\frac{π}{3} + π n$ e $\frac{4 π}{3} + π n$ em $\frac{π}{3} + π n$ .

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 12.2

Consolide $\frac{2 π}{3} + π n$ e $\frac{2 π}{3} + π n$ em $\frac{2 π}{3} + π n$ .

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$