Trigonometria Exemplos

$\sin^{2} (x) \cos^{2} (x) = \frac{1}{4}$

Etapa 1

Subtraia $\frac{1}{4}$ dos dois lados da equação.

$\sin^{2} (x) \cos^{2} (x) - \frac{1}{4} = 0$

Etapa 2

Substitua $\sin^{2} (x)$ por $1 - \cos^{2} (x)$ com base na identidade $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$(1 - \cos^{2} (x)) \cos^{2} (x) - \frac{1}{4} = 0$

Etapa 3

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$1 \cos^{2} (x) - \cos^{2} (x) \cos^{2} (x) - \frac{1}{4} = 0$

Etapa 3.2

Multiplique $\cos^{2} (x)$ por $1$ .

$\cos^{2} (x) - \cos^{2} (x) \cos^{2} (x) - \frac{1}{4} = 0$

Etapa 3.3

Multiplique $\cos^{2} (x)$ por $\cos^{2} (x)$ somando os expoentes.

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Etapa 3.3.1

Mova $\cos^{2} (x)$ .

$\cos^{2} (x) - (\cos^{2} (x) \cos^{2} (x)) - \frac{1}{4} = 0$

Etapa 3.3.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\cos^{2} (x) - {\cos (x)}^{2 + 2} - \frac{1}{4} = 0$

Etapa 3.3.3

Some $2$ e $2$ .

$\cos^{2} (x) - \cos^{4} (x) - \frac{1}{4} = 0$

Etapa 4

Reordene o polinômio.

$- \cos^{4} (x) + \cos^{2} (x) - \frac{1}{4} = 0$

Etapa 5

Substitua $u = \cos^{2} (x)$ na equação. A fórmula quadrática ficará mais fácil de usar.

$- u^{2} + u - \frac{1}{4} = 0$

$u = \cos^{2} (x)$

Etapa 6

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 6.1

Fatore $- 1$ de $- u^{2} + u - \frac{1}{4}$ .

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Etapa 6.1.1

Fatore $- 1$ de $- u^{2}$ .

$- (u^{2}) + u - \frac{1}{4} = 0$

Etapa 6.1.2

Fatore $- 1$ de $u$ .

$- (u^{2}) - 1 (- u) - \frac{1}{4} = 0$

Etapa 6.1.3

Fatore $- 1$ de $- \frac{1}{4}$ .

$- (u^{2}) - 1 (- u) - (\frac{1}{4}) = 0$

Etapa 6.1.4

Fatore $- 1$ de $- (u^{2}) - 1 (- u)$ .

$- (u^{2} - u) - (\frac{1}{4}) = 0$

Etapa 6.1.5

Fatore $- 1$ de $- (u^{2} - u) - (\frac{1}{4})$ .

$- (u^{2} - u + \frac{1}{4}) = 0$

Etapa 6.2

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

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Etapa 6.2.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$- (u^{2} - u + \frac{1^{2}}{4}) = 0$

Etapa 6.2.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$- (u^{2} - u + \frac{1^{2}}{2^{2}}) = 0$

Etapa 6.2.3

Reescreva $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ como ${(\frac{1}{2})}^{2}$ .

$- (u^{2} - u + {(\frac{1}{2})}^{2}) = 0$

Etapa 6.2.4

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$u = 2 \cdot u \cdot \frac{1}{2}$

Etapa 6.2.5

Reescreva o polinômio.

$- (u^{2} - 2 \cdot u \cdot \frac{1}{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}) = 0$

Etapa 6.2.6

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , em que $a = u$ e $b = \frac{1}{2}$ .

$- {(u - \frac{1}{2})}^{2} = 0$

Etapa 7

Divida cada termo em $- {(u - \frac{1}{2})}^{2} = 0$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 7.1

Divida cada termo em $- {(u - \frac{1}{2})}^{2} = 0$ por $- 1$ .

$\frac{- {(u - \frac{1}{2})}^{2}}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Etapa 7.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 7.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{{(u - \frac{1}{2})}^{2}}{1} = \frac{0}{- 1}$

Etapa 7.2.2

Divida ${(u - \frac{1}{2})}^{2}$ por $1$ .

${(u - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{0}{- 1}$

Etapa 7.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.3.1

Divida $0$ por $- 1$ .

${(u - \frac{1}{2})}^{2} = 0$

Etapa 8

Defina $u - \frac{1}{2}$ como igual a $0$ .

$u - \frac{1}{2} = 0$

Etapa 9

Some $\frac{1}{2}$ aos dois lados da equação.

$u = \frac{1}{2}$

Etapa 10

Substitua o valor real de $u = \cos^{2} (x)$ de volta na equação resolvida.

$\cos^{2} (x) = \frac{1}{2}$

Etapa 11

Resolva a equação para $\cos (x)$ .

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Etapa 11.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (x) = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

Etapa 11.2

Simplifique $\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 11.2.1

Reescreva $\sqrt{\frac{1}{2}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Etapa 11.2.2

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$\cos (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

Etapa 11.2.3

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Etapa 11.2.4

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 11.2.4.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Etapa 11.2.4.2

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Etapa 11.2.4.3

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Etapa 11.2.4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Etapa 11.2.4.5

Some $1$ e $1$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Etapa 11.2.4.6

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Etapa 11.2.4.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 11.2.4.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 11.2.4.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 11.2.4.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 11.2.4.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 11.2.4.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Etapa 11.2.4.6.5

Avalie o expoente.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 11.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 11.3.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 11.3.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 11.3.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 12

Estabeleça cada uma das soluções para resolver $x$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 13

Resolva $x$ em $\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Etapa 13.1

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$x = \arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Etapa 13.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 13.2.1

O valor exato de $\arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$ é $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Etapa 13.3

A função do cosseno é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{4}$

Etapa 13.4

Simplifique $2 π - \frac{π}{4}$ .

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Etapa 13.4.1

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Etapa 13.4.2

Combine frações.

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Etapa 13.4.2.1

Combine $2 π$ e $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Etapa 13.4.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Etapa 13.4.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 13.4.3.1

Multiplique $4$ por $2$ .

$x = \frac{8 π - π}{4}$

Etapa 13.4.3.2

Subtraia $π$ de $8 π$ .

$x = \frac{7 π}{4}$

Etapa 13.5

Encontre o período de $\cos (x)$ .

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Etapa 13.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 13.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 13.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 13.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 13.6

O período da função $\cos (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 14

Resolva $x$ em $\cos (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Etapa 14.1

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$x = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Etapa 14.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 14.2.1

O valor exato de $\arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ é $\frac{3 π}{4}$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Etapa 14.3

A função do cosseno é negativa no segundo e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no terceiro quadrante.

$x = 2 π - \frac{3 π}{4}$

Etapa 14.4

Simplifique $2 π - \frac{3 π}{4}$ .

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Etapa 14.4.1

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Etapa 14.4.2

Combine frações.

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Etapa 14.4.2.1

Combine $2 π$ e $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Etapa 14.4.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{2 π \cdot 4 - 3 π}{4}$

Etapa 14.4.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 14.4.3.1

Multiplique $4$ por $2$ .

$x = \frac{8 π - 3 π}{4}$

Etapa 14.4.3.2

Subtraia $3 π$ de $8 π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Etapa 14.5

Encontre o período de $\cos (x)$ .

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Etapa 14.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 14.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 14.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 14.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 14.6

O período da função $\cos (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 15

Liste todas as soluções.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 16

Consolide as respostas.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , para qualquer número inteiro $n$