Trigonometria Exemplos

$\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 1

Subtraia $\frac{\sqrt{3}}{2}$ dos dois lados da equação.

$\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x) - \frac{\sqrt{3}}{2} = 0$

Etapa 2

Substitua $\sin^{2} (x)$ por $1 - \cos^{2} (x)$ com base na identidade $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$(1 - \cos^{2} (x)) - \cos^{2} (x) - \frac{\sqrt{3}}{2} = 0$

Etapa 3

Subtraia $\cos^{2} (x)$ de $- \cos^{2} (x)$ .

$1 - 2 \cos^{2} (x) - \frac{\sqrt{3}}{2} = 0$

Etapa 4

Reordene o polinômio.

$- 2 \cos^{2} (x) + 1 - \frac{\sqrt{3}}{2} = 0$

Etapa 5

Mova todos os termos que não contêm $\cos (x)$ para o lado direito da equação.

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Etapa 5.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- 2 \cos^{2} (x) - \frac{\sqrt{3}}{2} = - 1$

Etapa 5.2

Some $\frac{\sqrt{3}}{2}$ aos dois lados da equação.

$- 2 \cos^{2} (x) = - 1 + \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 6

Divida cada termo em $- 2 \cos^{2} (x) = - 1 + \frac{\sqrt{3}}{2}$ por $- 2$ e simplifique.

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Etapa 6.1

Divida cada termo em $- 2 \cos^{2} (x) = - 1 + \frac{\sqrt{3}}{2}$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 \cos^{2} (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{- 2}$

Etapa 6.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.2.1

Cancele o fator comum de $- 2$ .

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Etapa 6.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 2 \cos^{2} (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{- 2}$

Etapa 6.2.1.2

Divida $\cos^{2} (x)$ por $1$ .

$\cos^{2} (x) = \frac{- 1}{- 2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{- 2}$

Etapa 6.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.3.1.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\cos^{2} (x) = \frac{1}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{- 2}$

Etapa 6.3.1.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\cos^{2} (x) = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{- 2}$

Etapa 6.3.1.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\cos^{2} (x) = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} (- \frac{1}{2})$

Etapa 6.3.1.4

Multiplique $\frac{\sqrt{3}}{2} (- \frac{1}{2})$ .

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Etapa 6.3.1.4.1

Multiplique $\frac{\sqrt{3}}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\cos^{2} (x) = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

Etapa 6.3.1.4.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\cos^{2} (x) = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{4}$

Etapa 7

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (x) = \pm \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{4}}$

Etapa 8

Simplifique $\pm \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{4}}$ .

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Etapa 8.1

Para escrever $\frac{1}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\cos (x) = \pm \sqrt{\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{\sqrt{3}}{4}}$

Etapa 8.2

Escreva cada expressão com um denominador comum de $4$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 8.2.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\cos (x) = \pm \sqrt{\frac{2}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{3}}{4}}$

Etapa 8.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\cos (x) = \pm \sqrt{\frac{2}{4} - \frac{\sqrt{3}}{4}}$

Etapa 8.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\cos (x) = \pm \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{4}}$

Etapa 8.4

Reescreva $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{4}}$ como $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{\sqrt{4}}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{\sqrt{4}}$

Etapa 8.5

Simplifique o denominador.

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Etapa 8.5.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{\sqrt{2^{2}}}$

Etapa 8.5.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$

Etapa 9

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 9.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$

Etapa 9.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$

Etapa 9.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}, - \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$

Etapa 10

Estabeleça cada uma das soluções para resolver $x$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$

Etapa 11

Resolva $x$ em $\cos (x) = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$ .

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Etapa 11.1

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$x = \arccos (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2})$

Etapa 11.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 11.2.1

Avalie $\arccos (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2})$ .

$x = \frac{5 π}{12}$

Etapa 11.3

A função do cosseno é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = 2 π - \frac{5 π}{12}$

Etapa 11.4

Simplifique $2 π - \frac{5 π}{12}$ .

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Etapa 11.4.1

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{12}{12}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{12}{12} - \frac{5 π}{12}$

Etapa 11.4.2

Combine frações.

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Etapa 11.4.2.1

Combine $2 π$ e $\frac{12}{12}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 12}{12} - \frac{5 π}{12}$

Etapa 11.4.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{2 π \cdot 12 - 5 π}{12}$

Etapa 11.4.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 11.4.3.1

Multiplique $12$ por $2$ .

$x = \frac{24 π - 5 π}{12}$

Etapa 11.4.3.2

Subtraia $5 π$ de $24 π$ .

$x = \frac{19 π}{12}$

Etapa 11.5

Encontre o período de $\cos (x)$ .

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Etapa 11.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 11.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 11.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 11.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 11.6

O período da função $\cos (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{5 π}{12} + 2 π n, \frac{19 π}{12} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 12

Resolva $x$ em $\cos (x) = - \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$ .

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Etapa 12.1

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$x = \arccos (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2})$

Etapa 12.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 12.2.1

Avalie $\arccos (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2})$ .

$x = \frac{7 π}{12}$

Etapa 12.3

A função do cosseno é negativa no segundo e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no terceiro quadrante.

$x = 2 π - \frac{7 π}{12}$

Etapa 12.4

Simplifique $2 π - \frac{7 π}{12}$ .

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Etapa 12.4.1

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{12}{12}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{12}{12} - \frac{7 π}{12}$

Etapa 12.4.2

Combine frações.

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Etapa 12.4.2.1

Combine $2 π$ e $\frac{12}{12}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 12}{12} - \frac{7 π}{12}$

Etapa 12.4.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{2 π \cdot 12 - 7 π}{12}$

Etapa 12.4.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 12.4.3.1

Multiplique $12$ por $2$ .

$x = \frac{24 π - 7 π}{12}$

Etapa 12.4.3.2

Subtraia $7 π$ de $24 π$ .

$x = \frac{17 π}{12}$

Etapa 12.5

Encontre o período de $\cos (x)$ .

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Etapa 12.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 12.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 12.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 12.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 12.6

O período da função $\cos (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{7 π}{12} + 2 π n, \frac{17 π}{12} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 13

Liste todas as soluções.

$x = \frac{5 π}{12} + 2 π n, \frac{19 π}{12} + 2 π n, \frac{7 π}{12} + 2 π n, \frac{17 π}{12} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 14

Consolide as soluções.

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Etapa 14.1

Consolide $\frac{5 π}{12} + 2 π n$ e $\frac{17 π}{12} + 2 π n$ em $\frac{5 π}{12} + π n$ .

$x = \frac{5 π}{12} + π n, \frac{19 π}{12} + 2 π n, \frac{7 π}{12} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 14.2

Consolide $\frac{19 π}{12} + 2 π n$ e $\frac{7 π}{12} + 2 π n$ em $\frac{7 π}{12} + π n$ .

$x = \frac{5 π}{12} + π n, \frac{7 π}{12} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$