Trigonometria Exemplos

$\log_{3} (3 x) = \log_{3} (x) + \log_{3} (4 - x)$

Etapa 1

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.1

Simplifique $\log_{3} (x) + \log_{3} (4 - x)$ .

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Etapa 1.1.1

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{3} (3 x) = \log_{3} (x (4 - x))$

Etapa 1.1.2

Simplifique multiplicando.

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Etapa 1.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\log_{3} (3 x) = \log_{3} (x \cdot 4 + x (- x))$

Etapa 1.1.2.2

Reordene.

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Etapa 1.1.2.2.1

Mova $4$ para a esquerda de $x$ .

$\log_{3} (3 x) = \log_{3} (4 \cdot x + x (- x))$

Etapa 1.1.2.2.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\log_{3} (3 x) = \log_{3} (4 \cdot x - x \cdot x)$

Etapa 1.1.3

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 1.1.3.1

Mova $x$ .

$\log_{3} (3 x) = \log_{3} (4 x - (x \cdot x))$

Etapa 1.1.3.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\log_{3} (3 x) = \log_{3} (4 x - x^{2})$

Etapa 2

Para que a equação seja igual, o argumento dos logaritmos deve ser igual nos dois lados da equação.

$3 x = 4 x - x^{2}$

Etapa 3

Resolva $x$ .

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Etapa 3.1

Como $x$ está do lado direito da equação, troque os lados para que ela fique do lado esquerdo da equação.

$4 x - x^{2} = 3 x$

Etapa 3.2

Mova todos os termos que contêm $x$ para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 3.2.1

Subtraia $3 x$ dos dois lados da equação.

$4 x - x^{2} - 3 x = 0$

Etapa 3.2.2

Subtraia $3 x$ de $4 x$ .

$- x^{2} + x = 0$

Etapa 3.3

Fatore $- x$ de $- x^{2} + x$ .

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Etapa 3.3.1

Fatore $- x$ de $- x^{2}$ .

$- x \cdot x + x = 0$

Etapa 3.3.2

Reescreva $x$ como $1 x$ .

$- x \cdot x + 1 x = 0$

Etapa 3.3.3

Fatore $- x$ de $1 x$ .

$- x \cdot x - x \cdot - 1 = 0$

Etapa 3.3.4

Fatore $- x$ de $- x (x) - x (- 1)$ .

$- x (x - 1) = 0$

Etapa 3.4

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$x - 1 = 0$

Etapa 3.5

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 3.6

Defina $x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.6.1

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 3.6.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 3.7

A solução final são todos os valores que tornam $- x (x - 1) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, 1$

Etapa 4

Exclua as soluções que não tornam $\log_{3} (3 x) = \log_{3} (x) + \log_{3} (4 - x)$ verdadeira.

$x = 1$