Trigonometria Exemplos

$2 \cos^{2} (x) - 2 \cos (x) - 1 = 0$

Etapa 1

Substitua $u$ por $\cos (x)$ .

$2 {(u)}^{2} - 2 u - 1 = 0$

Etapa 2

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 3

Substitua os valores $a = 2$ , $b = - 2$ e $c = - 1$ na fórmula quadrática e resolva $u$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot - 1)}}{2 \cdot 2}$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Etapa 4.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 2 \cdot - 1$ .

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Etapa 4.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Etapa 4.1.2.2

Multiplique $- 8$ por $- 1$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2 \cdot 2}$

Etapa 4.1.3

Some $4$ e $8$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 2}$

Etapa 4.1.4

Reescreva $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

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Etapa 4.1.4.1

Fatore $4$ de $12$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 2}$

Etapa 4.1.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 2}$

Etapa 4.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$u = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

Etapa 4.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$u = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{4}$

Etapa 4.3

Simplifique $\frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{4}$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{3}}{2}$

Etapa 5

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$u = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$

Etapa 6

Substitua $\cos (x)$ por $u$ .

$\cos (x) = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$

Etapa 7

Estabeleça cada uma das soluções para resolver $x$ .

$\cos (x) = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$

$\cos (x) = \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$

Etapa 8

Resolva $x$ em $\cos (x) = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$ .

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Etapa 8.1

O intervalo do cosseno é $- 1 \leq y \leq 1$ . Como $\frac{1 + \sqrt{3}}{2}$ não se enquadra nesse intervalo, não há solução.

Nenhuma solução

Etapa 9

Resolva $x$ em $\cos (x) = \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$ .

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Etapa 9.1

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$x = \arccos (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Etapa 9.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 9.2.1

Avalie $\arccos (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$ .

$x = 1.94553075$

Etapa 9.3

A função do cosseno é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = 2 (3.14159265) - 1.94553075$

Etapa 9.4

Resolva $x$ .

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Etapa 9.4.1

Remova os parênteses.

$x = 2 (3.14159265) - 1.94553075$

Etapa 9.4.2

Simplifique $2 (3.14159265) - 1.94553075$ .

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Etapa 9.4.2.1

Multiplique $2$ por $3.14159265$ .

$x = 6.2831853 - 1.94553075$

Etapa 9.4.2.2

Subtraia $1.94553075$ de $6.2831853$ .

$x = 4.33765454$

Etapa 9.5

Encontre o período de $\cos (x)$ .

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Etapa 9.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 9.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 9.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 9.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 9.6

O período da função $\cos (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = 1.94553075 + 2 π n, 4.33765454 + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 10

Liste todas as soluções.

$x = 1.94553075 + 2 π n, 4.33765454 + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$