Trigonometria Exemplos

$2 \cot^{2} (x) + 3 \csc (x) = 0$

Etapa 1

Substitua $2 \cot^{2} (x)$ por $2 (\csc^{2} (x) - 1)$ com base na identidade $\cot^{2} (x) + 1 = \csc^{2} (x)$ .

$2 (\csc^{2} (x) - 1) + 3 \csc (x) = 0$

Etapa 2

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 \csc^{2} (x) + 2 \cdot - 1 + 3 \csc (x) = 0$

Etapa 2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$2 \csc^{2} (x) - 2 + 3 \csc (x) = 0$

Etapa 3

Reordene o polinômio.

$2 \csc^{2} (x) + 3 \csc (x) - 2 = 0$

Etapa 4

Substitua $u$ por $\csc (x)$ .

$2 {(u)}^{2} + 3 (u) - 2 = 0$

Etapa 5

Fatore por agrupamento.

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Etapa 5.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 2 \cdot - 2 = - 4$ e cuja soma é $b = 3$ .

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Etapa 5.1.1

Fatore $3$ de $3 u$ .

$2 u^{2} + 3 u - 2 = 0$

Etapa 5.1.2

Reescreva $3$ como $- 1$ mais $4$

$2 u^{2} + (- 1 + 4) u - 2 = 0$

Etapa 5.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$2 u^{2} - 1 u + 4 u - 2 = 0$

Etapa 5.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 5.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$2 u^{2} - 1 u + 4 u - 2 = 0$

Etapa 5.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$u (2 u - 1) + 2 (2 u - 1) = 0$

Etapa 5.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $2 u - 1$ .

$(2 u - 1) (u + 2) = 0$

Etapa 6

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$2 u - 1 = 0$

$u + 2 = 0$

Etapa 7

Defina $2 u - 1$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

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Etapa 7.1

Defina $2 u - 1$ como igual a $0$ .

$2 u - 1 = 0$

Etapa 7.2

Resolva $2 u - 1 = 0$ para $u$ .

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Etapa 7.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$2 u = 1$

Etapa 7.2.2

Divida cada termo em $2 u = 1$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 7.2.2.1

Divida cada termo em $2 u = 1$ por $2$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 7.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 7.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 7.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 7.2.2.2.1.2

Divida $u$ por $1$ .

$u = \frac{1}{2}$

Etapa 8

Defina $u + 2$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

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Etapa 8.1

Defina $u + 2$ como igual a $0$ .

$u + 2 = 0$

Etapa 8.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$u = - 2$

Etapa 9

A solução final são todos os valores que tornam $(2 u - 1) (u + 2) = 0$ verdadeiro.

$u = \frac{1}{2}, - 2$

Etapa 10

Substitua $\csc (x)$ por $u$ .

$\csc (x) = \frac{1}{2}, - 2$

Etapa 11

Estabeleça cada uma das soluções para resolver $x$ .

$\csc (x) = \frac{1}{2}$

$\csc (x) = - 2$

Etapa 12

Resolva $x$ em $\csc (x) = \frac{1}{2}$ .

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Etapa 12.1

O intervalo da cossecante é $y \leq - 1$ e $y \geq 1$ . Como $\frac{1}{2}$ não se enquadra nesse intervalo, não há solução.

Nenhuma solução

Etapa 13

Resolva $x$ em $\csc (x) = - 2$ .

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Etapa 13.1

Obtenha a cossecante inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da cossecante.

$x = arccsc (- 2)$

Etapa 13.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 13.2.1

O valor exato de $arccsc (- 2)$ é $- \frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{6}$

Etapa 13.3

The cosecant function is negative in the third and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the solution from $2 π$ , to find a reference angle. Next, add this reference angle to $π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Etapa 13.4

Simplifique a expressão para encontrar a segunda solução.

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Etapa 13.4.1

Subtraia $2 π$ de $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Etapa 13.4.2

O ângulo resultante de $\frac{7 π}{6}$ é positivo, menor do que $2 π$ e coterminal com $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Etapa 13.5

Encontre o período de $\csc (x)$ .

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Etapa 13.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 13.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 13.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 13.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 13.6

Some $2 π$ com todos os ângulos negativos para obter os ângulos positivos.

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Etapa 13.6.1

Some $2 π$ com $- \frac{π}{6}$ para encontrar o ângulo positivo.

$- \frac{π}{6} + 2 π$

Etapa 13.6.2

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{6}{6}$ .

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Etapa 13.6.3

Combine frações.

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Etapa 13.6.3.1

Combine $2 π$ e $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Etapa 13.6.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Etapa 13.6.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 13.6.4.1

Multiplique $6$ por $2$ .

$\frac{12 π - π}{6}$

Etapa 13.6.4.2

Subtraia $π$ de $12 π$ .

$\frac{11 π}{6}$

Etapa 13.6.5

Liste os novos ângulos.

$x = \frac{11 π}{6}$

Etapa 13.7

O período da função $\csc (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 14

Liste todas as soluções.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$