Trigonometria Exemplos

$2 \log_{3} (x) - \log_{3} (x + 6) = 1$

Etapa 1

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$2 \log_{3} (x) - \log_{3} (x + 6) = 1$

Etapa 2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.1

Simplifique $2 \log_{3} (x) - \log_{3} (x + 6)$ .

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Etapa 2.1.1

Simplifique $2 \log_{3} (x)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$\log_{3} (x^{2}) - \log_{3} (x + 6) = 1$

Etapa 2.1.2

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{3} (\frac{x^{2}}{x + 6}) = 1$

Etapa 3

Reescreva $\log_{3} (\frac{x^{2}}{x + 6}) = 1$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b$ $\neq$ $1$ , então $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$3^{1} = \frac{x^{2}}{x + 6}$

Etapa 4

Multiplique usando a regra de três para remover a fração.

$x^{2} = 3 (x + 6)$

Etapa 5

Simplifique $3 (x + 6)$ .

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Etapa 5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} = 3 x + 3 \cdot 6$

Etapa 5.2

Multiplique $3$ por $6$ .

$x^{2} = 3 x + 18$

Etapa 6

Subtraia $3 x$ dos dois lados da equação.

$x^{2} - 3 x = 18$

Etapa 7

Fatore $x$ de $x^{2} - 3 x$ .

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Etapa 7.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$x \cdot x - 3 x = 18$

Etapa 7.2

Fatore $x$ de $- 3 x$ .

$x \cdot x + x \cdot - 3 = 18$

Etapa 7.3

Fatore $x$ de $x \cdot x + x \cdot - 3$ .

$x (x - 3) = 18$

Etapa 8

Simplifique $x (x - 3)$ .

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Etapa 8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x \cdot x + x \cdot - 3 = 18$

Etapa 8.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 8.2.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 3 = 18$

Etapa 8.2.2

Mova $- 3$ para a esquerda de $x$ .

$x^{2} - 3 x = 18$

Etapa 9

Subtraia $18$ dos dois lados da equação.

$x^{2} - 3 x - 18 = 0$

Etapa 10

Fatore $x^{2} - 3 x - 18$ usando o método AC.

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Etapa 10.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 18$ e cuja soma é $- 3$ .

$- 6, 3$

Etapa 10.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(x - 6) (x + 3) = 0$

Etapa 11

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 6 = 0$

$x + 3 = 0$

Etapa 12

Defina $x - 6$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 12.1

Defina $x - 6$ como igual a $0$ .

$x - 6 = 0$

Etapa 12.2

Some $6$ aos dois lados da equação.

$x = 6$

Etapa 13

Defina $x + 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 13.1

Defina $x + 3$ como igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Etapa 13.2

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$x = - 3$

Etapa 14

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 6) (x + 3) = 0$ verdadeiro.

$x = 6, - 3$

Etapa 15

Exclua as soluções que não tornam $2 \log_{3} (x) - \log_{3} (x + 6) = 1$ verdadeira.

$x = 6$