Trigonometria Exemplos

$16 \sin^{2} (x) = 16 - 8 \cos (x)$

Etapa 1

Mova todas as expressões para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 1.1

Subtraia $16$ dos dois lados da equação.

$16 \sin^{2} (x) - 16 = - 8 \cos (x)$

Etapa 1.2

Some $8 \cos (x)$ aos dois lados da equação.

$16 \sin^{2} (x) - 16 + 8 \cos (x) = 0$

Etapa 2

Simplifique $16 \sin^{2} (x) - 16 + 8 \cos (x)$ .

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Etapa 2.1

Reordene $16 \sin^{2} (x)$ e $- 16$ .

$- 16 + 16 \sin^{2} (x) + 8 \cos (x) = 0$

Etapa 2.2

Fatore $- 16$ de $- 16$ .

$- 16 (1) + 16 \sin^{2} (x) + 8 \cos (x) = 0$

Etapa 2.3

Fatore $- 16$ de $16 \sin^{2} (x)$ .

$- 16 (1) - 16 (- \sin^{2} (x)) + 8 \cos (x) = 0$

Etapa 2.4

Fatore $- 16$ de $- 16 (1) - 16 (- \sin^{2} (x))$ .

$- 16 (1 - \sin^{2} (x)) + 8 \cos (x) = 0$

Etapa 2.5

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$- 16 \cos^{2} (x) + 8 \cos (x) = 0$

Etapa 3

Resolva $x$ .

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Etapa 3.1

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 3.1.1

Deixe $u = \cos (x)$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $\cos (x)$ .

$- 16 u^{2} + 8 u = 0$

Etapa 3.1.2

Fatore $8 u$ de $- 16 u^{2} + 8 u$ .

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Etapa 3.1.2.1

Fatore $8 u$ de $- 16 u^{2}$ .

$8 u (- 2 u) + 8 u = 0$

Etapa 3.1.2.2

Fatore $8 u$ de $8 u$ .

$8 u (- 2 u) + 8 u (1) = 0$

Etapa 3.1.2.3

Fatore $8 u$ de $8 u (- 2 u) + 8 u (1)$ .

$8 u (- 2 u + 1) = 0$

Etapa 3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\cos (x)$ .

$8 \cos (x) (- 2 \cos (x) + 1) = 0$

Etapa 3.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$\cos (x) = 0$

$- 2 \cos (x) + 1 = 0$

Etapa 3.3

Defina $\cos (x)$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.3.1

Defina $\cos (x)$ como igual a $0$ .

$\cos (x) = 0$

Etapa 3.3.2

Resolva $\cos (x) = 0$ para $x$ .

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Etapa 3.3.2.1

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$x = \arccos (0)$

Etapa 3.3.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.2.2.1

O valor exato de $\arccos (0)$ é $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Etapa 3.3.2.3

A função do cosseno é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Etapa 3.3.2.4

Simplifique $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Etapa 3.3.2.4.1

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 3.3.2.4.2

Combine frações.

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Etapa 3.3.2.4.2.1

Combine $2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 3.3.2.4.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Etapa 3.3.2.4.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.3.2.4.3.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Etapa 3.3.2.4.3.2

Subtraia $π$ de $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Etapa 3.3.2.5

Encontre o período de $\cos (x)$ .

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Etapa 3.3.2.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 3.3.2.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 3.3.2.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 3.3.2.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 3.3.2.6

O período da função $\cos (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 3.4

Defina $- 2 \cos (x) + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.4.1

Defina $- 2 \cos (x) + 1$ como igual a $0$ .

$- 2 \cos (x) + 1 = 0$

Etapa 3.4.2

Resolva $- 2 \cos (x) + 1 = 0$ para $x$ .

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Etapa 3.4.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- 2 \cos (x) = - 1$

Etapa 3.4.2.2

Divida cada termo em $- 2 \cos (x) = - 1$ por $- 2$ e simplifique.

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Etapa 3.4.2.2.1

Divida cada termo em $- 2 \cos (x) = - 1$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 \cos (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Etapa 3.4.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.4.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 2$ .

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Etapa 3.4.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 2 \cos (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Etapa 3.4.2.2.2.1.2

Divida $\cos (x)$ por $1$ .

$\cos (x) = \frac{- 1}{- 2}$

Etapa 3.4.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.4.2.2.3.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

Etapa 3.4.2.3

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$x = \arccos (\frac{1}{2})$

Etapa 3.4.2.4

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.4.2.4.1

O valor exato de $\arccos (\frac{1}{2})$ é $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Etapa 3.4.2.5

A função do cosseno é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

Etapa 3.4.2.6

Simplifique $2 π - \frac{π}{3}$ .

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Etapa 3.4.2.6.1

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Etapa 3.4.2.6.2

Combine frações.

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Etapa 3.4.2.6.2.1

Combine $2 π$ e $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Etapa 3.4.2.6.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Etapa 3.4.2.6.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.4.2.6.3.1

Multiplique $3$ por $2$ .

$x = \frac{6 π - π}{3}$

Etapa 3.4.2.6.3.2

Subtraia $π$ de $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{3}$

Etapa 3.4.2.7

Encontre o período de $\cos (x)$ .

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Etapa 3.4.2.7.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 3.4.2.7.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 3.4.2.7.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 3.4.2.7.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 3.4.2.8

O período da função $\cos (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 3.5

A solução final são todos os valores que tornam $8 \cos (x) (- 2 \cos (x) + 1) = 0$ verdadeiro.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 4

Consolide $\frac{π}{2} + 2 π n$ e $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ em $\frac{π}{2} + π n$ .

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$