Trigonometria Exemplos

$2 \sin^{2} (x) = 1 - \cos (x)$

Etapa 1

Mova todas as expressões para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 1.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$2 \sin^{2} (x) - 1 = - \cos (x)$

Etapa 1.2

Some $\cos (x)$ aos dois lados da equação.

$2 \sin^{2} (x) - 1 + \cos (x) = 0$

Etapa 2

Substitua $2 \sin^{2} (x)$ por $2 (1 - \cos^{2} (x))$ com base na identidade $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$2 (1 - \cos^{2} (x)) - 1 + \cos (x) = 0$

Etapa 3

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 \cdot 1 + 2 (- \cos^{2} (x)) - 1 + \cos (x) = 0$

Etapa 3.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 + 2 (- \cos^{2} (x)) - 1 + \cos (x) = 0$

Etapa 3.3

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$2 - 2 \cos^{2} (x) - 1 + \cos (x) = 0$

Etapa 4

Subtraia $1$ de $2$ .

$- 2 \cos^{2} (x) + 1 + \cos (x) = 0$

Etapa 5

Reordene o polinômio.

$- 2 \cos^{2} (x) + \cos (x) + 1 = 0$

Etapa 6

Substitua $u$ por $\cos (x)$ .

$- 2 {(u)}^{2} + u + 1 = 0$

Etapa 7

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 7.1

Fatore $- 1$ de $- 2 u^{2} + u + 1$ .

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Etapa 7.1.1

Fatore $- 1$ de $- 2 u^{2}$ .

$- (2 u^{2}) + u + 1 = 0$

Etapa 7.1.2

Fatore $- 1$ de $u$ .

$- (2 u^{2}) - 1 (- u) + 1 = 0$

Etapa 7.1.3

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$- (2 u^{2}) - 1 (- u) - 1 \cdot - 1 = 0$

Etapa 7.1.4

Fatore $- 1$ de $- (2 u^{2}) - 1 (- u)$ .

$- (2 u^{2} - u) - 1 \cdot - 1 = 0$

Etapa 7.1.5

Fatore $- 1$ de $- (2 u^{2} - u) - 1 (- 1)$ .

$- (2 u^{2} - u - 1) = 0$

Etapa 7.2

Fatore.

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Etapa 7.2.1

Fatore por agrupamento.

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Etapa 7.2.1.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ e cuja soma é $b = - 1$ .

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Etapa 7.2.1.1.1

Fatore $- 1$ de $- u$ .

$- (2 u^{2} - u - 1) = 0$

Etapa 7.2.1.1.2

Reescreva $- 1$ como $1$ mais $- 2$

$- (2 u^{2} + (1 - 2) u - 1) = 0$

Etapa 7.2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$- (2 u^{2} + 1 u - 2 u - 1) = 0$

Etapa 7.2.1.1.4

Multiplique $u$ por $1$ .

$- (2 u^{2} + u - 2 u - 1) = 0$

Etapa 7.2.1.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 7.2.1.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$- (2 u^{2} + u - 2 u - 1) = 0$

Etapa 7.2.1.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$- (u (2 u + 1) - (2 u + 1)) = 0$

Etapa 7.2.1.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $2 u + 1$ .

$- ((2 u + 1) (u - 1)) = 0$

Etapa 7.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$- (2 u + 1) (u - 1) = 0$

Etapa 8

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$2 u + 1 = 0$

$u - 1 = 0$

Etapa 9

Defina $2 u + 1$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

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Etapa 9.1

Defina $2 u + 1$ como igual a $0$ .

$2 u + 1 = 0$

Etapa 9.2

Resolva $2 u + 1 = 0$ para $u$ .

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Etapa 9.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$2 u = - 1$

Etapa 9.2.2

Divida cada termo em $2 u = - 1$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 9.2.2.1

Divida cada termo em $2 u = - 1$ por $2$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}$

Etapa 9.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 9.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 9.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}$

Etapa 9.2.2.2.1.2

Divida $u$ por $1$ .

$u = \frac{- 1}{2}$

Etapa 9.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 9.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$u = - \frac{1}{2}$

Etapa 10

Defina $u - 1$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

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Etapa 10.1

Defina $u - 1$ como igual a $0$ .

$u - 1 = 0$

Etapa 10.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$u = 1$

Etapa 11

A solução final são todos os valores que tornam $- (2 u + 1) (u - 1) = 0$ verdadeiro.

$u = - \frac{1}{2}, 1$

Etapa 12

Substitua $\cos (x)$ por $u$ .

$\cos (x) = - \frac{1}{2}, 1$

Etapa 13

Estabeleça cada uma das soluções para resolver $x$ .

$\cos (x) = - \frac{1}{2}$

$\cos (x) = 1$

Etapa 14

Resolva $x$ em $\cos (x) = - \frac{1}{2}$ .

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Etapa 14.1

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$x = \arccos (- \frac{1}{2})$

Etapa 14.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 14.2.1

O valor exato de $\arccos (- \frac{1}{2})$ é $\frac{2 π}{3}$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Etapa 14.3

A função do cosseno é negativa no segundo e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no terceiro quadrante.

$x = 2 π - \frac{2 π}{3}$

Etapa 14.4

Simplifique $2 π - \frac{2 π}{3}$ .

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Etapa 14.4.1

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Etapa 14.4.2

Combine frações.

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Etapa 14.4.2.1

Combine $2 π$ e $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Etapa 14.4.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

Etapa 14.4.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 14.4.3.1

Multiplique $3$ por $2$ .

$x = \frac{6 π - 2 π}{3}$

Etapa 14.4.3.2

Subtraia $2 π$ de $6 π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Etapa 14.5

Encontre o período de $\cos (x)$ .

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Etapa 14.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 14.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 14.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 14.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 14.6

O período da função $\cos (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 15

Resolva $x$ em $\cos (x) = 1$ .

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Etapa 15.1

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$x = \arccos (1)$

Etapa 15.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 15.2.1

O valor exato de $\arccos (1)$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 15.3

A função do cosseno é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = 2 π - 0$

Etapa 15.4

Subtraia $0$ de $2 π$ .

$x = 2 π$

Etapa 15.5

Encontre o período de $\cos (x)$ .

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Etapa 15.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 15.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 15.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 15.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 15.6

O período da função $\cos (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 16

Liste todas as soluções.

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 17

Consolide as respostas.

$x = \frac{2 π n}{3}$ , para qualquer número inteiro $n$