Trigonometria Exemplos

$2 \sec^{2} (x) = 3 - \tan (x)$

Etapa 1

Substitua $2 \sec^{2} (x)$ por $2 (1 + \tan^{2} (x))$ com base na identidade $\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ .

$2 (1 + \tan^{2} (x)) = 3 - \tan (x)$

Etapa 2

Aplique a propriedade distributiva.

$2 \cdot 1 + 2 \tan^{2} (x) = 3 - \tan (x)$

Etapa 3

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 + 2 \tan^{2} (x) = 3 - \tan (x)$

Etapa 4

Reordene o polinômio.

$2 \tan^{2} (x) + 2 = 3 - \tan (x)$

Etapa 5

Substitua $u$ por $\tan (x)$ .

$2 {(u)}^{2} + 2 = 3 - (u)$

Etapa 6

Some $u$ aos dois lados da equação.

$2 u^{2} + 2 + u = 3$

Etapa 7

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$2 u^{2} + 2 + u - 3 = 0$

Etapa 8

Subtraia $3$ de $2$ .

$2 u^{2} + u - 1 = 0$

Etapa 9

Fatore por agrupamento.

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Etapa 9.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ e cuja soma é $b = 1$ .

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Etapa 9.1.1

Multiplique por $1$ .

$2 u^{2} + 1 u - 1 = 0$

Etapa 9.1.2

Reescreva $1$ como $- 1$ mais $2$

$2 u^{2} + (- 1 + 2) u - 1 = 0$

Etapa 9.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$2 u^{2} - 1 u + 2 u - 1 = 0$

Etapa 9.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 9.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$2 u^{2} - 1 u + 2 u - 1 = 0$

Etapa 9.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$u (2 u - 1) + 1 (2 u - 1) = 0$

Etapa 9.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $2 u - 1$ .

$(2 u - 1) (u + 1) = 0$

Etapa 10

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$2 u - 1 = 0$

$u + 1 = 0$

Etapa 11

Defina $2 u - 1$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

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Etapa 11.1

Defina $2 u - 1$ como igual a $0$ .

$2 u - 1 = 0$

Etapa 11.2

Resolva $2 u - 1 = 0$ para $u$ .

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Etapa 11.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$2 u = 1$

Etapa 11.2.2

Divida cada termo em $2 u = 1$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 11.2.2.1

Divida cada termo em $2 u = 1$ por $2$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 11.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 11.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 11.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 11.2.2.2.1.2

Divida $u$ por $1$ .

$u = \frac{1}{2}$

Etapa 12

Defina $u + 1$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

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Etapa 12.1

Defina $u + 1$ como igual a $0$ .

$u + 1 = 0$

Etapa 12.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$u = - 1$

Etapa 13

A solução final são todos os valores que tornam $(2 u - 1) (u + 1) = 0$ verdadeiro.

$u = \frac{1}{2}, - 1$

Etapa 14

Substitua $\tan (x)$ por $u$ .

$\tan (x) = \frac{1}{2}, - 1$

Etapa 15

Estabeleça cada uma das soluções para resolver $x$ .

$\tan (x) = \frac{1}{2}$

$\tan (x) = - 1$

Etapa 16

Resolva $x$ em $\tan (x) = \frac{1}{2}$ .

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Etapa 16.1

Obtenha a tangente inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da tangente.

$x = \arctan (\frac{1}{2})$

Etapa 16.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 16.2.1

Avalie $\arctan (\frac{1}{2})$ .

$x = 0.4636476$

Etapa 16.3

A função da tangente é positiva no primeiro e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, some o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = (3.14159265) + 0.4636476$

Etapa 16.4

Resolva $x$ .

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Etapa 16.4.1

Remova os parênteses.

$x = 3.14159265 + 0.4636476$

Etapa 16.4.2

Remova os parênteses.

$x = (3.14159265) + 0.4636476$

Etapa 16.4.3

Some $3.14159265$ e $0.4636476$ .

$x = 3.60524026$

Etapa 16.5

Encontre o período de $\tan (x)$ .

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Etapa 16.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Etapa 16.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Etapa 16.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{π}{1}$

Etapa 16.5.4

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 16.6

O período da função $\tan (x)$ é $π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $π$ radianos nas duas direções.

$x = 0.4636476 + π n, 3.60524026 + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 17

Resolva $x$ em $\tan (x) = - 1$ .

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Etapa 17.1

Obtenha a tangente inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da tangente.

$x = \arctan (- 1)$

Etapa 17.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 17.2.1

O valor exato de $\arctan (- 1)$ é $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Etapa 17.3

A função da tangente é negativa no segundo e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no terceiro quadrante.

$x = - \frac{π}{4} - π$

Etapa 17.4

Simplifique a expressão para encontrar a segunda solução.

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Etapa 17.4.1

Some $2 π$ a $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

Etapa 17.4.2

O ângulo resultante de $\frac{3 π}{4}$ é positivo e coterminal com $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Etapa 17.5

Encontre o período de $\tan (x)$ .

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Etapa 17.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Etapa 17.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Etapa 17.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{π}{1}$

Etapa 17.5.4

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 17.6

Some $π$ com todos os ângulos negativos para obter os ângulos positivos.

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Etapa 17.6.1

Some $π$ com $- \frac{π}{4}$ para encontrar o ângulo positivo.

$- \frac{π}{4} + π$

Etapa 17.6.2

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Etapa 17.6.3

Combine frações.

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Etapa 17.6.3.1

Combine $π$ e $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Etapa 17.6.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Etapa 17.6.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 17.6.4.1

Mova $4$ para a esquerda de $π$ .

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

Etapa 17.6.4.2

Subtraia $π$ de $4 π$ .

$\frac{3 π}{4}$

Etapa 17.6.5

Liste os novos ângulos.

$x = \frac{3 π}{4}$

Etapa 17.7

O período da função $\tan (x)$ é $π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 18

Liste todas as soluções.

$x = 0.4636476 + π n, 3.60524026 + π n, \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 19

Consolide as soluções.

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Etapa 19.1

Consolide $0.4636476 + π n$ e $3.60524026 + π n$ em $0.4636476 + π n$ .

$x = 0.4636476 + π n, \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 19.2

Consolide $\frac{3 π}{4} + π n$ e $\frac{3 π}{4} + π n$ em $\frac{3 π}{4} + π n$ .

$x = 0.4636476 + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$