Trigonometria Exemplos

$2 \sec^{2} (x) - \tan^{4} (x) = - 1$

Etapa 1

Substitua $2 \sec^{2} (x)$ por $2 (1 + \tan^{2} (x))$ com base na identidade $\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ .

$2 (1 + \tan^{2} (x)) - \tan^{4} (x) = - 1$

Etapa 2

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 \cdot 1 + 2 \tan^{2} (x) - \tan^{4} (x) = - 1$

Etapa 2.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 + 2 \tan^{2} (x) - \tan^{4} (x) = - 1$

Etapa 3

Reordene o polinômio.

$- \tan^{4} (x) + 2 \tan^{2} (x) + 2 = - 1$

Etapa 4

Substitua $u = \tan^{2} (x)$ na equação. A fórmula quadrática ficará mais fácil de usar.

$- u^{2} + 2 u + 2 = - 1$

$u = \tan^{2} (x)$

Etapa 5

Some $1$ aos dois lados da equação.

$- u^{2} + 2 u + 2 + 1 = 0$

Etapa 6

Some $2$ e $1$ .

$- u^{2} + 2 u + 3 = 0$

Etapa 7

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 7.1

Fatore $- 1$ de $- u^{2} + 2 u + 3$ .

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Etapa 7.1.1

Fatore $- 1$ de $- u^{2}$ .

$- (u^{2}) + 2 u + 3 = 0$

Etapa 7.1.2

Fatore $- 1$ de $2 u$ .

$- (u^{2}) - (- 2 u) + 3 = 0$

Etapa 7.1.3

Reescreva $3$ como $- 1 (- 3)$ .

$- (u^{2}) - (- 2 u) - 1 \cdot - 3 = 0$

Etapa 7.1.4

Fatore $- 1$ de $- (u^{2}) - (- 2 u)$ .

$- (u^{2} - 2 u) - 1 \cdot - 3 = 0$

Etapa 7.1.5

Fatore $- 1$ de $- (u^{2} - 2 u) - 1 (- 3)$ .

$- (u^{2} - 2 u - 3) = 0$

Etapa 7.2

Fatore.

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Etapa 7.2.1

Fatore $u^{2} - 2 u - 3$ usando o método AC.

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Etapa 7.2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 3$ e cuja soma é $- 2$ .

$- 3, 1$

Etapa 7.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$- ((u - 3) (u + 1)) = 0$

Etapa 7.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$- (u - 3) (u + 1) = 0$

Etapa 8

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$u - 3 = 0$

$u + 1 = 0$

Etapa 9

Defina $u - 3$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

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Etapa 9.1

Defina $u - 3$ como igual a $0$ .

$u - 3 = 0$

Etapa 9.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$u = 3$

Etapa 10

Defina $u + 1$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

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Etapa 10.1

Defina $u + 1$ como igual a $0$ .

$u + 1 = 0$

Etapa 10.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$u = - 1$

Etapa 11

A solução final são todos os valores que tornam $- (u - 3) (u + 1) = 0$ verdadeiro.

$u = 3, - 1$

Etapa 12

Substitua o valor real de $u = \tan^{2} (x)$ de volta na equação resolvida.

$\tan^{2} (x) = 3$

${(\tan^{2} (x))}^{1} = - 1$

Etapa 13

Resolva a primeira equação para $\tan (x)$ .

$\tan^{2} (x) = 3$

Etapa 14

Resolva a equação para $\tan (x)$ .

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Etapa 14.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\tan (x) = \pm \sqrt{3}$

Etapa 14.2

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 14.2.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$\tan (x) = \sqrt{3}$

Etapa 14.2.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$\tan (x) = - \sqrt{3}$

Etapa 14.2.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$\tan (x) = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Etapa 15

Resolva a segunda equação para $\tan (x)$ .

${(\tan^{2} (x))}^{1} = - 1$

Etapa 16

Resolva a equação para $\tan (x)$ .

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Etapa 16.1

Remova os parênteses.

$\tan^{2} (x) = - 1$

Etapa 16.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\tan (x) = \pm \sqrt{- 1}$

Etapa 16.3

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$\tan (x) = \pm i$

Etapa 16.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 16.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$\tan (x) = i$

Etapa 16.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$\tan (x) = - i$

Etapa 16.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$\tan (x) = i, - i$

Etapa 17

A solução para $- \tan^{4} (x) + 2 \tan^{2} (x) + 2 = - 1$ é $\tan (x) = \sqrt{3}, - \sqrt{3}, i, - i$ .

$\tan (x) = \sqrt{3}, - \sqrt{3}, i, - i$

Etapa 18

Estabeleça cada uma das soluções para resolver $x$ .

$\tan (x) = \sqrt{3}$

$\tan (x) = - \sqrt{3}$

$\tan (x) = i$

$\tan (x) = - i$

Etapa 19

Resolva $x$ em $\tan (x) = \sqrt{3}$ .

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Etapa 19.1

Obtenha a tangente inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da tangente.

$x = \arctan (\sqrt{3})$

Etapa 19.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 19.2.1

O valor exato de $\arctan (\sqrt{3})$ é $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Etapa 19.3

A função da tangente é positiva no primeiro e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, some o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = π + \frac{π}{3}$

Etapa 19.4

Simplifique $π + \frac{π}{3}$ .

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Etapa 19.4.1

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$x = π \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3}$

Etapa 19.4.2

Combine frações.

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Etapa 19.4.2.1

Combine $π$ e $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{π \cdot 3}{3} + \frac{π}{3}$

Etapa 19.4.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{π \cdot 3 + π}{3}$

Etapa 19.4.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 19.4.3.1

Mova $3$ para a esquerda de $π$ .

$x = \frac{3 \cdot π + π}{3}$

Etapa 19.4.3.2

Some $3 π$ e $π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Etapa 19.5

Encontre o período de $\tan (x)$ .

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Etapa 19.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Etapa 19.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Etapa 19.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{π}{1}$

Etapa 19.5.4

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 19.6

O período da função $\tan (x)$ é $π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{4 π}{3} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 20

Resolva $x$ em $\tan (x) = - \sqrt{3}$ .

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Etapa 20.1

Obtenha a tangente inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da tangente.

$x = \arctan (- \sqrt{3})$

Etapa 20.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 20.2.1

O valor exato de $\arctan (- \sqrt{3})$ é $- \frac{π}{3}$ .

$x = - \frac{π}{3}$

Etapa 20.3

A função da tangente é negativa no segundo e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no terceiro quadrante.

$x = - \frac{π}{3} - π$

Etapa 20.4

Simplifique a expressão para encontrar a segunda solução.

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Etapa 20.4.1

Some $2 π$ a $- \frac{π}{3} - π$ .

$x = - \frac{π}{3} - π + 2 π$

Etapa 20.4.2

O ângulo resultante de $\frac{2 π}{3}$ é positivo e coterminal com $- \frac{π}{3} - π$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Etapa 20.5

Encontre o período de $\tan (x)$ .

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Etapa 20.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Etapa 20.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Etapa 20.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{π}{1}$

Etapa 20.5.4

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 20.6

Some $π$ com todos os ângulos negativos para obter os ângulos positivos.

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Etapa 20.6.1

Some $π$ com $- \frac{π}{3}$ para encontrar o ângulo positivo.

$- \frac{π}{3} + π$

Etapa 20.6.2

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Etapa 20.6.3

Combine frações.

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Etapa 20.6.3.1

Combine $π$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Etapa 20.6.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{π \cdot 3 - π}{3}$

Etapa 20.6.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 20.6.4.1

Mova $3$ para a esquerda de $π$ .

$\frac{3 \cdot π - π}{3}$

Etapa 20.6.4.2

Subtraia $π$ de $3 π$ .

$\frac{2 π}{3}$

Etapa 20.6.5

Liste os novos ângulos.

$x = \frac{2 π}{3}$

Etapa 20.7

O período da função $\tan (x)$ é $π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{2 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 21

Resolva $x$ em $\tan (x) = i$ .

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Etapa 21.1

Obtenha a tangente inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da tangente.

$x = \arctan (i)$

Etapa 21.2

A tangente inversa de $\arctan (i)$ é indefinida.

Indefinido

Etapa 22

Resolva $x$ em $\tan (x) = - i$ .

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Etapa 22.1

Obtenha a tangente inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da tangente.

$x = \arctan (- i)$

Etapa 22.2

A tangente inversa de $\arctan (- i)$ é indefinida.

Indefinido

Etapa 23

Liste todas as soluções.

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{4 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 24

Consolide as soluções.

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Etapa 24.1

Consolide $\frac{π}{3} + π n$ e $\frac{4 π}{3} + π n$ em $\frac{π}{3} + π n$ .

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 24.2

Consolide $\frac{2 π}{3} + π n$ e $\frac{2 π}{3} + π n$ em $\frac{2 π}{3} + π n$ .

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$