Trigonometria Exemplos

$3 \tan^{2} (x) + 7 \tan (x) + 4 = 0$

Etapa 1

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Deixe $u = \tan (x)$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $\tan (x)$ .

$3 u^{2} + 7 u + 4 = 0$

Etapa 1.2

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 3 \cdot 4 = 12$ e cuja soma é $b = 7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1.1

Fatore $7$ de $7 u$ .

$3 u^{2} + 7 (u) + 4 = 0$

Etapa 1.2.1.2

Reescreva $7$ como $3$ mais $4$

$3 u^{2} + (3 + 4) u + 4 = 0$

Etapa 1.2.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$3 u^{2} + 3 u + 4 u + 4 = 0$

Etapa 1.2.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(3 u^{2} + 3 u) + 4 u + 4 = 0$

Etapa 1.2.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$3 u (u + 1) + 4 (u + 1) = 0$

Etapa 1.2.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $u + 1$ .

$(u + 1) (3 u + 4) = 0$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\tan (x)$ .

$(\tan (x) + 1) (3 \tan (x) + 4) = 0$

Etapa 2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$\tan (x) + 1 = 0$

$3 \tan (x) + 4 = 0$

Etapa 3

Defina $\tan (x) + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Defina $\tan (x) + 1$ como igual a $0$ .

$\tan (x) + 1 = 0$

Etapa 3.2

Resolva $\tan (x) + 1 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$\tan (x) = - 1$

Etapa 3.2.2

Obtenha a tangente inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da tangente.

$x = \arctan (- 1)$

Etapa 3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.1

O valor exato de $\arctan (- 1)$ é $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Etapa 3.2.4

A função da tangente é negativa no segundo e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no terceiro quadrante.

$x = - \frac{π}{4} - π$

Etapa 3.2.5

Simplifique a expressão para encontrar a segunda solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.5.1

Some $2 π$ a $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

Etapa 3.2.5.2

O ângulo resultante de $\frac{3 π}{4}$ é positivo e coterminal com $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Etapa 3.2.6

Encontre o período de $\tan (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.6.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Etapa 3.2.6.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Etapa 3.2.6.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{π}{1}$

Etapa 3.2.6.4

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 3.2.7

Some $π$ com todos os ângulos negativos para obter os ângulos positivos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.7.1

Some $π$ com $- \frac{π}{4}$ para encontrar o ângulo positivo.

$- \frac{π}{4} + π$

Etapa 3.2.7.2

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Etapa 3.2.7.3

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.7.3.1

Combine $π$ e $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Etapa 3.2.7.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Etapa 3.2.7.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.7.4.1

Mova $4$ para a esquerda de $π$ .

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

Etapa 3.2.7.4.2

Subtraia $π$ de $4 π$ .

$\frac{3 π}{4}$

Etapa 3.2.7.5

Liste os novos ângulos.

$x = \frac{3 π}{4}$

Etapa 3.2.8

O período da função $\tan (x)$ é $π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 4

Defina $3 \tan (x) + 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Defina $3 \tan (x) + 4$ como igual a $0$ .

$3 \tan (x) + 4 = 0$

Etapa 4.2

Resolva $3 \tan (x) + 4 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$3 \tan (x) = - 4$

Etapa 4.2.2

Divida cada termo em $3 \tan (x) = - 4$ por $3$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Divida cada termo em $3 \tan (x) = - 4$ por $3$ .

$\frac{3 \tan (x)}{3} = \frac{- 4}{3}$

Etapa 4.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 \tan (x)}{3} = \frac{- 4}{3}$

Etapa 4.2.2.2.1.2

Divida $\tan (x)$ por $1$ .

$\tan (x) = \frac{- 4}{3}$

Etapa 4.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\tan (x) = - \frac{4}{3}$

Etapa 4.2.3

Obtenha a tangente inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da tangente.

$x = \arctan (- \frac{4}{3})$

Etapa 4.2.4

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.4.1

Avalie $\arctan (- \frac{4}{3})$ .

$x = - 0.92729521$

Etapa 4.2.5

A função da tangente é negativa no segundo e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no terceiro quadrante.

$x = - 0.92729521 - (3.14159265)$

Etapa 4.2.6

Simplifique a expressão para encontrar a segunda solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.6.1

Some $2 π$ a $- 0.92729521 - (3.14159265)$ .

$x = - 0.92729521 - (3.14159265) + 2 π$

Etapa 4.2.6.2

O ângulo resultante de $2.21429743$ é positivo e coterminal com $- 0.92729521 - (3.14159265)$ .

$x = 2.21429743$

Etapa 4.2.7

Encontre o período de $\tan (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.7.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Etapa 4.2.7.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Etapa 4.2.7.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{π}{1}$

Etapa 4.2.7.4

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 4.2.8

Some $π$ com todos os ângulos negativos para obter os ângulos positivos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.8.1

Some $π$ com $- 0.92729521$ para encontrar o ângulo positivo.

$- 0.92729521 + π$

Etapa 4.2.8.2

Substitua pela aproximação decimal.

$3.14159265 - 0.92729521$

Etapa 4.2.8.3

Subtraia $0.92729521$ de $3.14159265$ .

$2.21429743$

Etapa 4.2.8.4

Liste os novos ângulos.

$x = 2.21429743$

Etapa 4.2.9

O período da função $\tan (x)$ é $π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $π$ radianos nas duas direções.

$x = 2.21429743 + π n, 2.21429743 + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 5

A solução final são todos os valores que tornam $(\tan (x) + 1) (3 \tan (x) + 4) = 0$ verdadeiro.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, 2.21429743 + π n, 2.21429743 + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 6

Consolide $2.21429743 + π n$ e $2.21429743 + π n$ em $2.21429743 + π n$ .

$x = \frac{3 π}{4} + π n, 2.21429743 + π n$ , para qualquer número inteiro $n$