Trigonometria Exemplos

$x^{3} + 4 x^{2} - 10 x + 12 = 0$

Etapa 1

Fatore $x^{3} + 4 x^{2} - 10 x + 12$ usando o teste das raízes racionais.

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Etapa 1.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

$q = \pm 1$

Etapa 1.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

Etapa 1.3

Substitua $- 6$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $- 6$ é uma raiz do polinômio.

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Etapa 1.3.1

Substitua $- 6$ no polinômio.

${(- 6)}^{3} + 4 {(- 6)}^{2} - 10 \cdot - 6 + 12$

Etapa 1.3.2

Eleve $- 6$ à potência de $3$ .

$- 216 + 4 {(- 6)}^{2} - 10 \cdot - 6 + 12$

Etapa 1.3.3

Eleve $- 6$ à potência de $2$ .

$- 216 + 4 \cdot 36 - 10 \cdot - 6 + 12$

Etapa 1.3.4

Multiplique $4$ por $36$ .

$- 216 + 144 - 10 \cdot - 6 + 12$

Etapa 1.3.5

Some $- 216$ e $144$ .

$- 72 - 10 \cdot - 6 + 12$

Etapa 1.3.6

Multiplique $- 10$ por $- 6$ .

$- 72 + 60 + 12$

Etapa 1.3.7

Some $- 72$ e $60$ .

$- 12 + 12$

Etapa 1.3.8

Some $- 12$ e $12$ .

$0$

Etapa 1.4

Como $- 6$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x + 6$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{x^{3} + 4 x^{2} - 10 x + 12}{x + 6}$

Etapa 1.5

Divida $x^{3} + 4 x^{2} - 10 x + 12$ por $x + 6$ .

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Etapa 1.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$6$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$10 x$

$12$

Etapa 1.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$6$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$10 x$	+	$12$

Etapa 1.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$
$x$	+	$6$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$10 x$	+	$12$
			+	$x^{3}$	+	$6 x^{2}$

Etapa 1.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{3} + 6 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	+	$6$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$10 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$6 x^{2}$

Etapa 1.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	+	$6$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$10 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$

Etapa 1.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$
$x$	+	$6$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$10 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$10 x$

Etapa 1.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 2 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$6$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$10 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$10 x$

Etapa 1.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$6$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$10 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$10 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$12 x$

Etapa 1.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 2 x^{2} - 12 x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$6$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$10 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$10 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$12 x$

Etapa 1.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$6$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$10 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$10 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$2 x$

Etapa 1.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$6$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$10 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$10 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$2 x$	+	$12$

Etapa 1.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $2 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$2$
$x$	+	$6$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$10 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$10 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$2 x$	+	$12$

Etapa 1.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$2$
$x$	+	$6$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$10 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$10 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$2 x$	+	$12$
							+	$2 x$	+	$12$

Etapa 1.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $2 x + 12$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$2$
$x$	+	$6$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$10 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$10 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$2 x$	+	$12$
							-	$2 x$	-	$12$

Etapa 1.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$2$
$x$	+	$6$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$10 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$10 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$2 x$	+	$12$
							-	$2 x$	-	$12$
										$0$

Etapa 1.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$x^{2} - 2 x + 2$

Etapa 1.6

Escreva $x^{3} + 4 x^{2} - 10 x + 12$ como um conjunto de fatores.

$(x + 6) (x^{2} - 2 x + 2) = 0$

Etapa 2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x + 6 = 0$

$x^{2} - 2 x + 2 = 0$

Etapa 3

Defina $x + 6$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.1

Defina $x + 6$ como igual a $0$ .

$x + 6 = 0$

Etapa 3.2

Subtraia $6$ dos dois lados da equação.

$x = - 6$

Etapa 4

Defina $x^{2} - 2 x + 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 4.1

Defina $x^{2} - 2 x + 2$ como igual a $0$ .

$x^{2} - 2 x + 2 = 0$

Etapa 4.2

Resolva $x^{2} - 2 x + 2 = 0$ para $x$ .

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Etapa 4.2.1

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 4.2.2

Substitua os valores $a = 1$ , $b = - 2$ e $c = 2$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 2)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.2.3

Simplifique.

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Etapa 4.2.3.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.2.3.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.2.3.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

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Etapa 4.2.3.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.2.3.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.2.3.1.3

Subtraia $8$ de $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.2.3.1.4

Reescreva $- 4$ como $- 1 (4)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.2.3.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (4)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.2.3.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.2.3.1.7

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.2.3.1.8

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \frac{2 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.2.3.1.9

Mova $2$ para a esquerda de $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.2.3.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2}$

Etapa 4.2.3.3

Simplifique $\frac{2 \pm 2 i}{2}$ .

$x = 1 \pm i$

Etapa 4.2.4

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = 1 + i, 1 - i$

Etapa 5

A solução final são todos os valores que tornam $(x + 6) (x^{2} - 2 x + 2) = 0$ verdadeiro.

$x = - 6, 1 + i, 1 - i$