Trigonometria Exemplos

$\cos (x) - \sqrt{3 - 3 \cos^{2} (x)} = 0$

Etapa 1

Subtraia $\cos (x)$ dos dois lados da equação.

$- \sqrt{3 - 3 \cos^{2} (x)} = - \cos (x)$

Etapa 2

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${(- \sqrt{3 - 3 \cos^{2} (x)})}^{2} = {(- \cos (x))}^{2}$

Etapa 3

Simplifique cada lado da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3 - 3 \cos^{2} (x)}$ como ${(3 - 3 \cos^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- {(3 - 3 \cos^{2} (x))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- \cos (x))}^{2}$

Etapa 3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Simplifique ${(- {(3 - 3 \cos^{2} (x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1

Aplique a regra do produto a $- {(3 - 3 \cos^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 1)}^{2} {({(3 - 3 \cos^{2} (x))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- \cos (x))}^{2}$

Etapa 3.2.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$1 {({(3 - 3 \cos^{2} (x))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- \cos (x))}^{2}$

Etapa 3.2.1.3

Multiplique ${({(3 - 3 \cos^{2} (x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ por $1$ .

${({(3 - 3 \cos^{2} (x))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- \cos (x))}^{2}$

Etapa 3.2.1.4

Multiplique os expoentes em ${({(3 - 3 \cos^{2} (x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.4.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 - 3 \cos^{2} (x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \cos (x))}^{2}$

Etapa 3.2.1.4.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.4.2.1

Cancele o fator comum.

${(3 - 3 \cos^{2} (x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \cos (x))}^{2}$

Etapa 3.2.1.4.2.2

Reescreva a expressão.

${(3 - 3 \cos^{2} (x))}^{1} = {(- \cos (x))}^{2}$

Etapa 3.2.1.5

Simplifique.

$3 - 3 \cos^{2} (x) = {(- \cos (x))}^{2}$

Etapa 3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Simplifique ${(- \cos (x))}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.1

Aplique a regra do produto a $- \cos (x)$ .

$3 - 3 \cos^{2} (x) = {(- 1)}^{2} \cos^{2} (x)$

Etapa 3.3.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$3 - 3 \cos^{2} (x) = 1 \cos^{2} (x)$

Etapa 3.3.1.3

Multiplique $\cos^{2} (x)$ por $1$ .

$3 - 3 \cos^{2} (x) = \cos^{2} (x)$

Etapa 4

Resolva $\cos (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Mova todos os termos que contêm $\cos (x)$ para o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Subtraia $\cos^{2} (x)$ dos dois lados da equação.

$3 - 3 \cos^{2} (x) - \cos^{2} (x) = 0$

Etapa 4.1.2

Subtraia $\cos^{2} (x)$ de $- 3 \cos^{2} (x)$ .

$3 - 4 \cos^{2} (x) = 0$

Etapa 4.2

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$- 4 \cos^{2} (x) = - 3$

Etapa 4.3

Divida cada termo em $- 4 \cos^{2} (x) = - 3$ por $- 4$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Divida cada termo em $- 4 \cos^{2} (x) = - 3$ por $- 4$ .

$\frac{- 4 \cos^{2} (x)}{- 4} = \frac{- 3}{- 4}$

Etapa 4.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 4 \cos^{2} (x)}{- 4} = \frac{- 3}{- 4}$

Etapa 4.3.2.1.2

Divida $\cos^{2} (x)$ por $1$ .

$\cos^{2} (x) = \frac{- 3}{- 4}$

Etapa 4.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\cos^{2} (x) = \frac{3}{4}$

Etapa 4.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (x) = \pm \sqrt{\frac{3}{4}}$

Etapa 4.5

Simplifique $\pm \sqrt{\frac{3}{4}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.1

Reescreva $\sqrt{\frac{3}{4}}$ como $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$

Etapa 4.5.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.2.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2^{2}}}$

Etapa 4.5.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 4.6

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.6.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 4.6.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 4.6.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}, - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 5

Estabeleça cada uma das soluções para resolver $x$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 6

Resolva $x$ em $\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$x = \arccos (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Etapa 6.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

O valor exato de $\arccos (\frac{\sqrt{3}}{2})$ é $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Etapa 6.3

A função do cosseno é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{6}$

Etapa 6.4

Simplifique $2 π - \frac{π}{6}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{6}{6}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Etapa 6.4.2

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.1

Combine $2 π$ e $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Etapa 6.4.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Etapa 6.4.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.3.1

Multiplique $6$ por $2$ .

$x = \frac{12 π - π}{6}$

Etapa 6.4.3.2

Subtraia $π$ de $12 π$ .

$x = \frac{11 π}{6}$

Etapa 6.5

Encontre o período de $\cos (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 6.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 6.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 6.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 6.6

O período da função $\cos (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 7

Resolva $x$ em $\cos (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$x = \arccos (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Etapa 7.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

O valor exato de $\arccos (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ é $\frac{5 π}{6}$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Etapa 7.3

A função do cosseno é negativa no segundo e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no terceiro quadrante.

$x = 2 π - \frac{5 π}{6}$

Etapa 7.4

Simplifique $2 π - \frac{5 π}{6}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.1

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{6}{6}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{5 π}{6}$

Etapa 7.4.2

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.2.1

Combine $2 π$ e $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{5 π}{6}$

Etapa 7.4.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{2 π \cdot 6 - 5 π}{6}$

Etapa 7.4.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.3.1

Multiplique $6$ por $2$ .

$x = \frac{12 π - 5 π}{6}$

Etapa 7.4.3.2

Subtraia $5 π$ de $12 π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Etapa 7.5

Encontre o período de $\cos (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 7.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 7.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 7.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 7.6

O período da função $\cos (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 8

Liste todas as soluções.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 9

Consolide as soluções.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Consolide $\frac{π}{6} + 2 π n$ e $\frac{7 π}{6} + 2 π n$ em $\frac{π}{6} + π n$ .

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 9.2

Consolide $\frac{11 π}{6} + 2 π n$ e $\frac{5 π}{6} + 2 π n$ em $\frac{5 π}{6} + π n$ .

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 10

Exclua as soluções que não tornam $\cos (x) - \sqrt{3 - 3 \cos^{2} (x)} = 0$ verdadeira.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$