Trigonometria Exemplos

$\csc (2 x) + \sqrt{2} = 0$

Etapa 1

Subtraia $\sqrt{2}$ dos dois lados da equação.

$\csc (2 x) = - \sqrt{2}$

Etapa 2

Obtenha a cossecante inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da cossecante.

$2 x = arccsc (- \sqrt{2})$

Etapa 3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.1

O valor exato de $arccsc (- \sqrt{2})$ é $- \frac{π}{4}$ .

$2 x = - \frac{π}{4}$

Etapa 4

Divida cada termo em $2 x = - \frac{π}{4}$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 4.1

Divida cada termo em $2 x = - \frac{π}{4}$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{4}}{2}$

Etapa 4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{4}}{2}$

Etapa 4.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- \frac{π}{4}}{2}$

Etapa 4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$x = - \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

Etapa 4.3.2

Multiplique $- \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 4.3.2.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{2 \cdot 4}$

Etapa 4.3.2.2

Multiplique $2$ por $4$ .

$x = - \frac{π}{8}$

Etapa 5

The cosecant function is negative in the third and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the solution from $2 π$ , to find a reference angle. Next, add this reference angle to $π$ to find the solution in the third quadrant.

$2 x = 2 π + \frac{π}{4} + π$

Etapa 6

Simplifique a expressão para encontrar a segunda solução.

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Etapa 6.1

Subtraia $2 π$ de $2 π + \frac{π}{4} + π$ .

$2 x = 2 π + \frac{π}{4} + π - 2 π$

Etapa 6.2

O ângulo resultante de $\frac{5 π}{4}$ é positivo, menor do que $2 π$ e coterminal com $2 π + \frac{π}{4} + π$ .

$2 x = \frac{5 π}{4}$

Etapa 6.3

Divida cada termo em $2 x = \frac{5 π}{4}$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 6.3.1

Divida cada termo em $2 x = \frac{5 π}{4}$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 π}{4}}{2}$

Etapa 6.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.3.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 π}{4}}{2}$

Etapa 6.3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{5 π}{4}}{2}$

Etapa 6.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.3.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$x = \frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

Etapa 6.3.3.2

Multiplique $\frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 6.3.3.2.1

Multiplique $\frac{5 π}{4}$ por $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{5 π}{4 \cdot 2}$

Etapa 6.3.3.2.2

Multiplique $4$ por $2$ .

$x = \frac{5 π}{8}$

Etapa 7

Encontre o período de $\csc (2 x)$ .

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Etapa 7.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 7.2

Substitua $b$ por $2$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Etapa 7.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $2$ é $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Etapa 7.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 7.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 π}{2}$

Etapa 7.4.2

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 8

Some $π$ com todos os ângulos negativos para obter os ângulos positivos.

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Etapa 8.1

Some $π$ com $- \frac{π}{8}$ para encontrar o ângulo positivo.

$- \frac{π}{8} + π$

Etapa 8.2

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{8}{8}$ .

$π \cdot \frac{8}{8} - \frac{π}{8}$

Etapa 8.3

Combine frações.

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Etapa 8.3.1

Combine $π$ e $\frac{8}{8}$ .

$\frac{π \cdot 8}{8} - \frac{π}{8}$

Etapa 8.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{π \cdot 8 - π}{8}$

Etapa 8.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.4.1

Mova $8$ para a esquerda de $π$ .

$\frac{8 \cdot π - π}{8}$

Etapa 8.4.2

Subtraia $π$ de $8 π$ .

$\frac{7 π}{8}$

Etapa 8.5

Liste os novos ângulos.

$x = \frac{7 π}{8}$

Etapa 9

O período da função $\csc (2 x)$ é $π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{5 π}{8} + π n, \frac{7 π}{8} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$