Trigonometria Exemplos

$\cos (x + \frac{π}{4}) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 1

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$x + \frac{π}{4} = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Etapa 2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.1

O valor exato de $\arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ é $\frac{3 π}{4}$ .

$x + \frac{π}{4} = \frac{3 π}{4}$

Etapa 3

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Subtraia $\frac{π}{4}$ dos dois lados da equação.

$x = \frac{3 π}{4} - \frac{π}{4}$

Etapa 3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{3 π - π}{4}$

Etapa 3.3

Subtraia $π$ de $3 π$ .

$x = \frac{2 π}{4}$

Etapa 3.4

Cancele o fator comum de $2$ e $4$ .

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Etapa 3.4.1

Fatore $2$ de $2 π$ .

$x = \frac{2 (π)}{4}$

Etapa 3.4.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.4.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$x = \frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.4.2.2

Cancele o fator comum.

$x = \frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.4.2.3

Reescreva a expressão.

$x = \frac{π}{2}$

Etapa 4

A função do cosseno é negativa no segundo e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no terceiro quadrante.

$x + \frac{π}{4} = 2 π - \frac{3 π}{4}$

Etapa 5

Resolva $x$ .

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Etapa 5.1

Simplifique $2 π - \frac{3 π}{4}$ .

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Etapa 5.1.1

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$x + \frac{π}{4} = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Etapa 5.1.2

Combine frações.

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Etapa 5.1.2.1

Combine $2 π$ e $\frac{4}{4}$ .

$x + \frac{π}{4} = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Etapa 5.1.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x + \frac{π}{4} = \frac{2 π \cdot 4 - 3 π}{4}$

Etapa 5.1.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.1.3.1

Multiplique $4$ por $2$ .

$x + \frac{π}{4} = \frac{8 π - 3 π}{4}$

Etapa 5.1.3.2

Subtraia $3 π$ de $8 π$ .

$x + \frac{π}{4} = \frac{5 π}{4}$

Etapa 5.2

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

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Etapa 5.2.1

Subtraia $\frac{π}{4}$ dos dois lados da equação.

$x = \frac{5 π}{4} - \frac{π}{4}$

Etapa 5.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{5 π - π}{4}$

Etapa 5.2.3

Subtraia $π$ de $5 π$ .

$x = \frac{4 π}{4}$

Etapa 5.2.4

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 5.2.4.1

Cancele o fator comum.

$x = \frac{4 π}{4}$

Etapa 5.2.4.2

Divida $π$ por $1$ .

$x = π$

Etapa 6

Encontre o período de $\cos (x + \frac{π}{4})$ .

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Etapa 6.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 6.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 6.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 6.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 7

O período da função $\cos (x + \frac{π}{4})$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, π + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$