Trigonometria Exemplos

$9 \cos^{2} (x) + 18 \cos (x) + 9 = 0$

Etapa 1

Substitua $u$ por $\cos (x)$ .

$9 {(u)}^{2} + 18 (u) + 9 = 0$

Etapa 2

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

Fatore $9$ de $9 u^{2} + 18 u + 9$ .

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Etapa 2.1.1

Fatore $9$ de $9 u^{2}$ .

$9 u^{2} + 18 u + 9 = 0$

Etapa 2.1.2

Fatore $9$ de $18 u$ .

$9 u^{2} + 9 (2 u) + 9 = 0$

Etapa 2.1.3

Fatore $9$ de $9$ .

$9 u^{2} + 9 (2 u) + 9 (1) = 0$

Etapa 2.1.4

Fatore $9$ de $9 u^{2} + 9 (2 u)$ .

$9 (u^{2} + 2 u) + 9 (1) = 0$

Etapa 2.1.5

Fatore $9$ de $9 (u^{2} + 2 u) + 9 (1)$ .

$9 (u^{2} + 2 u + 1) = 0$

Etapa 2.2

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

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Etapa 2.2.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$9 (u^{2} + 2 u + 1^{2}) = 0$

Etapa 2.2.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

Etapa 2.2.3

Reescreva o polinômio.

$9 (u^{2} + 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Etapa 2.2.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , em que $a = u$ e $b = 1$ .

$9 {(u + 1)}^{2} = 0$

Etapa 3

Divida cada termo em $9 {(u + 1)}^{2} = 0$ por $9$ e simplifique.

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Etapa 3.1

Divida cada termo em $9 {(u + 1)}^{2} = 0$ por $9$ .

$\frac{9 {(u + 1)}^{2}}{9} = \frac{0}{9}$

Etapa 3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.1

Cancele o fator comum de $9$ .

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Etapa 3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{9 {(u + 1)}^{2}}{9} = \frac{0}{9}$

Etapa 3.2.1.2

Divida ${(u + 1)}^{2}$ por $1$ .

${(u + 1)}^{2} = \frac{0}{9}$

Etapa 3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.1

Divida $0$ por $9$ .

${(u + 1)}^{2} = 0$

Etapa 4

Defina $u + 1$ como igual a $0$ .

$u + 1 = 0$

Etapa 5

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$u = - 1$

Etapa 6

Substitua $\cos (x)$ por $u$ .

$\cos (x) = - 1$

Etapa 7

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$x = \arccos (- 1)$

Etapa 8

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.1

O valor exato de $\arccos (- 1)$ é $π$ .

$x = π$

Etapa 9

A função do cosseno é negativa no segundo e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no terceiro quadrante.

$x = 2 π - π$

Etapa 10

Subtraia $π$ de $2 π$ .

$x = π$

Etapa 11

Encontre o período de $\cos (x)$ .

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Etapa 11.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 11.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 11.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 11.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 12

O período da função $\cos (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = π + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$