Trigonometria Exemplos

$9 \sin^{2} (x) - 5 \sin (x) = 1$

Etapa 1

Substitua $u$ por $\sin (x)$ .

$9 {(u)}^{2} - 5 u = 1$

Etapa 2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$9 u^{2} - 5 u - 1 = 0$

Etapa 3

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 4

Substitua os valores $a = 9$ , $b = - 5$ e $c = - 1$ na fórmula quadrática e resolva $u$ .

$\frac{5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (9 \cdot - 1)}}{2 \cdot 9}$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.1.1

Eleve $- 5$ à potência de $2$ .

$u = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 9 \cdot - 1}}{2 \cdot 9}$

Etapa 5.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 9 \cdot - 1$ .

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Etapa 5.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $9$ .

$u = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 36 \cdot - 1}}{2 \cdot 9}$

Etapa 5.1.2.2

Multiplique $- 36$ por $- 1$ .

$u = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 36}}{2 \cdot 9}$

Etapa 5.1.3

Some $25$ e $36$ .

$u = \frac{5 \pm \sqrt{61}}{2 \cdot 9}$

Etapa 5.2

Multiplique $2$ por $9$ .

$u = \frac{5 \pm \sqrt{61}}{18}$

Etapa 6

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$u = \frac{5 + \sqrt{61}}{18}, \frac{5 - \sqrt{61}}{18}$

Etapa 7

Substitua $\sin (x)$ por $u$ .

$\sin (x) = \frac{5 + \sqrt{61}}{18}, \frac{5 - \sqrt{61}}{18}$

Etapa 8

Estabeleça cada uma das soluções para resolver $x$ .

$\sin (x) = \frac{5 + \sqrt{61}}{18}$

$\sin (x) = \frac{5 - \sqrt{61}}{18}$

Etapa 9

Resolva $x$ em $\sin (x) = \frac{5 + \sqrt{61}}{18}$ .

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Etapa 9.1

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x = \arcsin (\frac{5 + \sqrt{61}}{18})$

Etapa 9.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 9.2.1

Avalie $\arcsin (\frac{5 + \sqrt{61}}{18})$ .

$x = 0.79188753$

Etapa 9.3

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$x = (3.14159265) - 0.79188753$

Etapa 9.4

Resolva $x$ .

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Etapa 9.4.1

Remova os parênteses.

$x = 3.14159265 - 0.79188753$

Etapa 9.4.2

Remova os parênteses.

$x = (3.14159265) - 0.79188753$

Etapa 9.4.3

Subtraia $0.79188753$ de $3.14159265$ .

$x = 2.34970512$

Etapa 9.5

Encontre o período de $\sin (x)$ .

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Etapa 9.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 9.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 9.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 9.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 9.6

O período da função $\sin (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = 0.79188753 + 2 π n, 2.34970512 + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 10

Resolva $x$ em $\sin (x) = \frac{5 - \sqrt{61}}{18}$ .

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Etapa 10.1

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x = \arcsin (\frac{5 - \sqrt{61}}{18})$

Etapa 10.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 10.2.1

Avalie $\arcsin (\frac{5 - \sqrt{61}}{18})$ .

$x = - 0.15676629$

Etapa 10.3

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$x = (3.14159265) + 0.15676629$

Etapa 10.4

Resolva $x$ .

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Etapa 10.4.1

Remova os parênteses.

$x = 3.14159265 + 0.15676629$

Etapa 10.4.2

Remova os parênteses.

$x = (3.14159265) + 0.15676629$

Etapa 10.4.3

Some $3.14159265$ e $0.15676629$ .

$x = 3.29835895$

Etapa 10.5

Encontre o período de $\sin (x)$ .

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Etapa 10.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 10.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 10.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 10.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 10.6

Some $2 π$ com todos os ângulos negativos para obter os ângulos positivos.

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Etapa 10.6.1

Some $2 π$ com $- 0.15676629$ para encontrar o ângulo positivo.

$- 0.15676629 + 2 π$

Etapa 10.6.2

Subtraia $0.15676629$ de $2 π$ .

$6.126419$

Etapa 10.6.3

Liste os novos ângulos.

$x = 6.126419$

Etapa 10.7

O período da função $\sin (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = 3.29835895 + 2 π n, 6.126419 + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 11

Liste todas as soluções.

$x = 0.79188753 + 2 π n, 2.34970512 + 2 π n, 3.29835895 + 2 π n, 6.126419 + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$