Trigonometria Exemplos

$4 \sin^{2} (x) = 9 \cos^{2} (x) + 6 \cos (x) + 1$

Etapa 1

Mova todas as expressões para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 1.1

Subtraia $9 \cos^{2} (x)$ dos dois lados da equação.

$4 \sin^{2} (x) - 9 \cos^{2} (x) = 6 \cos (x) + 1$

Etapa 1.2

Subtraia $6 \cos (x)$ dos dois lados da equação.

$4 \sin^{2} (x) - 9 \cos^{2} (x) - 6 \cos (x) = 1$

Etapa 1.3

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$4 \sin^{2} (x) - 9 \cos^{2} (x) - 6 \cos (x) - 1 = 0$

Etapa 2

Substitua $4 \sin^{2} (x)$ por $4 (1 - \cos^{2} (x))$ com base na identidade $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$4 (1 - \cos^{2} (x)) - 9 \cos^{2} (x) - 6 \cos (x) - 1 = 0$

Etapa 3

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$4 \cdot 1 + 4 (- \cos^{2} (x)) - 9 \cos^{2} (x) - 6 \cos (x) - 1 = 0$

Etapa 3.2

Multiplique $4$ por $1$ .

$4 + 4 (- \cos^{2} (x)) - 9 \cos^{2} (x) - 6 \cos (x) - 1 = 0$

Etapa 3.3

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$4 - 4 \cos^{2} (x) - 9 \cos^{2} (x) - 6 \cos (x) - 1 = 0$

Etapa 4

Simplifique somando os termos.

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Etapa 4.1

Subtraia $1$ de $4$ .

$- 4 \cos^{2} (x) - 9 \cos^{2} (x) - 6 \cos (x) + 3 = 0$

Etapa 4.2

Subtraia $9 \cos^{2} (x)$ de $- 4 \cos^{2} (x)$ .

$- 13 \cos^{2} (x) - 6 \cos (x) + 3 = 0$

Etapa 5

Substitua $u$ por $\cos (x)$ .

$- 13 {(u)}^{2} - 6 u + 3 = 0$

Etapa 6

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 7

Substitua os valores $a = - 13$ , $b = - 6$ e $c = 3$ na fórmula quadrática e resolva $u$ .

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (- 13 \cdot 3)}}{2 \cdot - 13}$

Etapa 8

Simplifique.

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Etapa 8.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.1.1

Eleve $- 6$ à potência de $2$ .

$u = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 13 \cdot 3}}{2 \cdot - 13}$

Etapa 8.1.2

Multiplique $- 4 \cdot - 13 \cdot 3$ .

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Etapa 8.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $- 13$ .

$u = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 52 \cdot 3}}{2 \cdot - 13}$

Etapa 8.1.2.2

Multiplique $52$ por $3$ .

$u = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 156}}{2 \cdot - 13}$

Etapa 8.1.3

Some $36$ e $156$ .

$u = \frac{6 \pm \sqrt{192}}{2 \cdot - 13}$

Etapa 8.1.4

Reescreva $192$ como $8^{2} \cdot 3$ .

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Etapa 8.1.4.1

Fatore $64$ de $192$ .

$u = \frac{6 \pm \sqrt{64 (3)}}{2 \cdot - 13}$

Etapa 8.1.4.2

Reescreva $64$ como $8^{2}$ .

$u = \frac{6 \pm \sqrt{8^{2} \cdot 3}}{2 \cdot - 13}$

Etapa 8.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$u = \frac{6 \pm 8 \sqrt{3}}{2 \cdot - 13}$

Etapa 8.2

Multiplique $2$ por $- 13$ .

$u = \frac{6 \pm 8 \sqrt{3}}{- 26}$

Etapa 8.3

Simplifique $\frac{6 \pm 8 \sqrt{3}}{- 26}$ .

$u = \frac{3 \pm 4 \sqrt{3}}{- 13}$

Etapa 8.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$u = - \frac{3 \pm 4 \sqrt{3}}{13}$

Etapa 9

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$u = - \frac{3 + 4 \sqrt{3}}{13}, - \frac{3 - 4 \sqrt{3}}{13}$

Etapa 10

Substitua $\cos (x)$ por $u$ .

$\cos (x) = - \frac{3 + 4 \sqrt{3}}{13}, - \frac{3 - 4 \sqrt{3}}{13}$

Etapa 11

Estabeleça cada uma das soluções para resolver $x$ .

$\cos (x) = - \frac{3 + 4 \sqrt{3}}{13}$

$\cos (x) = - \frac{3 - 4 \sqrt{3}}{13}$

Etapa 12

Resolva $x$ em $\cos (x) = - \frac{3 + 4 \sqrt{3}}{13}$ .

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Etapa 12.1

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$x = \arccos (- \frac{3 + 4 \sqrt{3}}{13})$

Etapa 12.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 12.2.1

Avalie $\arccos (- \frac{3 + 4 \sqrt{3}}{13})$ .

$x = 2.43983383$

Etapa 12.3

A função do cosseno é negativa no segundo e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no terceiro quadrante.

$x = 2 (3.14159265) - 2.43983383$

Etapa 12.4

Resolva $x$ .

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Etapa 12.4.1

Remova os parênteses.

$x = 2 (3.14159265) - 2.43983383$

Etapa 12.4.2

Simplifique $2 (3.14159265) - 2.43983383$ .

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Etapa 12.4.2.1

Multiplique $2$ por $3.14159265$ .

$x = 6.2831853 - 2.43983383$

Etapa 12.4.2.2

Subtraia $2.43983383$ de $6.2831853$ .

$x = 3.84335147$

Etapa 12.5

Encontre o período de $\cos (x)$ .

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Etapa 12.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 12.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 12.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 12.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 12.6

O período da função $\cos (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = 2.43983383 + 2 π n, 3.84335147 + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 13

Resolva $x$ em $\cos (x) = - \frac{3 - 4 \sqrt{3}}{13}$ .

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Etapa 13.1

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$x = \arccos (- \frac{3 - 4 \sqrt{3}}{13})$

Etapa 13.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 13.2.1

Avalie $\arccos (- \frac{3 - 4 \sqrt{3}}{13})$ .

$x = 1.26382862$

Etapa 13.3

$x = 2 (3.14159265) - 1.26382862$

Etapa 13.4

Resolva $x$ .

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Etapa 13.4.1

Remova os parênteses.

$x = 2 (3.14159265) - 1.26382862$

Etapa 13.4.2

Simplifique $2 (3.14159265) - 1.26382862$ .

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Etapa 13.4.2.1

Multiplique $2$ por $3.14159265$ .

$x = 6.2831853 - 1.26382862$

Etapa 13.4.2.2

Subtraia $1.26382862$ de $6.2831853$ .

$x = 5.01935668$

Etapa 13.5

Encontre o período de $\cos (x)$ .

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Etapa 13.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 13.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 13.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 13.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 13.6

O período da função $\cos (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = 1.26382862 + 2 π n, 5.01935668 + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 14

Liste todas as soluções.

$x = 2.43983383 + 2 π n, 3.84335147 + 2 π n, 1.26382862 + 2 π n, 5.01935668 + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$