Trigonometria Exemplos

$4 \cos^{2} (x) - 4 \sin (x) - 5 = 0$

Etapa 1

Substitua $4 \cos^{2} (x)$ por $4 (1 - \sin^{2} (x))$ com base na identidade $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$4 (1 - \sin^{2} (x)) - 4 \sin (x) - 5 = 0$

Etapa 2

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$4 \cdot 1 + 4 (- \sin^{2} (x)) - 4 \sin (x) - 5 = 0$

Etapa 2.2

Multiplique $4$ por $1$ .

$4 + 4 (- \sin^{2} (x)) - 4 \sin (x) - 5 = 0$

Etapa 2.3

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$4 - 4 \sin^{2} (x) - 4 \sin (x) - 5 = 0$

Etapa 3

Subtraia $5$ de $4$ .

$- 4 \sin^{2} (x) - 4 \sin (x) - 1 = 0$

Etapa 4

Substitua $u$ por $\sin (x)$ .

$- 4 {(u)}^{2} - 4 u - 1 = 0$

Etapa 5

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 5.1

Fatore $- 1$ de $- 4 u^{2} - 4 u - 1$ .

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Etapa 5.1.1

Fatore $- 1$ de $- 4 u^{2}$ .

$- (4 u^{2}) - 4 u - 1 = 0$

Etapa 5.1.2

Fatore $- 1$ de $- 4 u$ .

$- (4 u^{2}) - (4 u) - 1 = 0$

Etapa 5.1.3

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$- (4 u^{2}) - (4 u) - 1 \cdot 1 = 0$

Etapa 5.1.4

Fatore $- 1$ de $- (4 u^{2}) - (4 u)$ .

$- (4 u^{2} + 4 u) - 1 \cdot 1 = 0$

Etapa 5.1.5

Fatore $- 1$ de $- (4 u^{2} + 4 u) - 1 (1)$ .

$- (4 u^{2} + 4 u + 1) = 0$

Etapa 5.2

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

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Etapa 5.2.1

Reescreva $4 u^{2}$ como ${(2 u)}^{2}$ .

$- ({(2 u)}^{2} + 4 u + 1) = 0$

Etapa 5.2.2

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$- ({(2 u)}^{2} + 4 u + 1^{2}) = 0$

Etapa 5.2.3

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$4 u = 2 \cdot (2 u) \cdot 1$

Etapa 5.2.4

Reescreva o polinômio.

$- ({(2 u)}^{2} + 2 \cdot (2 u) \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Etapa 5.2.5

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , em que $a = 2 u$ e $b = 1$ .

$- {(2 u + 1)}^{2} = 0$

Etapa 6

Divida cada termo em $- {(2 u + 1)}^{2} = 0$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 6.1

Divida cada termo em $- {(2 u + 1)}^{2} = 0$ por $- 1$ .

$\frac{- {(2 u + 1)}^{2}}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Etapa 6.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{{(2 u + 1)}^{2}}{1} = \frac{0}{- 1}$

Etapa 6.2.2

Divida ${(2 u + 1)}^{2}$ por $1$ .

${(2 u + 1)}^{2} = \frac{0}{- 1}$

Etapa 6.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.3.1

Divida $0$ por $- 1$ .

${(2 u + 1)}^{2} = 0$

Etapa 7

Defina $2 u + 1$ como igual a $0$ .

$2 u + 1 = 0$

Etapa 8

Resolva $u$ .

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Etapa 8.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$2 u = - 1$

Etapa 8.2

Divida cada termo em $2 u = - 1$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 8.2.1

Divida cada termo em $2 u = - 1$ por $2$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}$

Etapa 8.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 8.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}$

Etapa 8.2.2.1.2

Divida $u$ por $1$ .

$u = \frac{- 1}{2}$

Etapa 8.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$u = - \frac{1}{2}$

Etapa 9

Substitua $\sin (x)$ por $u$ .

$\sin (x) = - \frac{1}{2}$

Etapa 10

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x = \arcsin (- \frac{1}{2})$

Etapa 11

Simplifique o lado direito.

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Etapa 11.1

O valor exato de $\arcsin (- \frac{1}{2})$ é $- \frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{6}$

Etapa 12

A função do seno é negativa no terceiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia a solução de $2 π$ para determinar um ângulo de referência. Depois, some esse ângulo de referência com $π$ para encontrar a solução no terceiro quadrante.

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Etapa 13

Simplifique a expressão para encontrar a segunda solução.

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Etapa 13.1

Subtraia $2 π$ de $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Etapa 13.2

O ângulo resultante de $\frac{7 π}{6}$ é positivo, menor do que $2 π$ e coterminal com $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Etapa 14

Encontre o período de $\sin (x)$ .

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Etapa 14.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 14.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 14.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 14.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 15

Some $2 π$ com todos os ângulos negativos para obter os ângulos positivos.

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Etapa 15.1

Some $2 π$ com $- \frac{π}{6}$ para encontrar o ângulo positivo.

$- \frac{π}{6} + 2 π$

Etapa 15.2

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{6}{6}$ .

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Etapa 15.3

Combine frações.

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Etapa 15.3.1

Combine $2 π$ e $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Etapa 15.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Etapa 15.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 15.4.1

Multiplique $6$ por $2$ .

$\frac{12 π - π}{6}$

Etapa 15.4.2

Subtraia $π$ de $12 π$ .

$\frac{11 π}{6}$

Etapa 15.5

Liste os novos ângulos.

$x = \frac{11 π}{6}$

Etapa 16

O período da função $\sin (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$