Trigonometria Exemplos

$4 \cot (x) = \cot (x) \sin^{2} (x)$

Etapa 1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.1

Simplifique $4 \cot (x)$ .

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Etapa 1.1.1

Reescreva $\cot (x)$ em termos de senos e cossenos.

$4 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \cot (x) \sin^{2} (x)$

Etapa 1.1.2

Combine $4$ e $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{4 \cos (x)}{\sin (x)} = \cot (x) \sin^{2} (x)$

Etapa 2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.1

Simplifique $\cot (x) \sin^{2} (x)$ .

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Etapa 2.1.1

Reescreva $\cot (x)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{4 \cos (x)}{\sin (x)} = \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \sin^{2} (x)$

Etapa 2.1.2

Cancele o fator comum de $\sin (x)$ .

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Etapa 2.1.2.1

Fatore $\sin (x)$ de $\sin^{2} (x)$ .

$\frac{4 \cos (x)}{\sin (x)} = \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (\sin (x) \sin (x))$

Etapa 2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{4 \cos (x)}{\sin (x)} = \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (\sin (x) \sin (x))$

Etapa 2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{4 \cos (x)}{\sin (x)} = \cos (x) \sin (x)$

Etapa 3

Multiplique os dois lados da equação por $\sin (x)$ .

$\sin (x) \frac{4 \cos (x)}{\sin (x)} = \sin (x) (\cos (x) \sin (x))$

Etapa 4

Cancele o fator comum de $\sin (x)$ .

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Etapa 4.1

Cancele o fator comum.

$\sin (x) \frac{4 \cos (x)}{\sin (x)} = \sin (x) (\cos (x) \sin (x))$

Etapa 4.2

Reescreva a expressão.

$4 \cos (x) = \sin (x) (\cos (x) \sin (x))$

Etapa 5

Multiplique $\sin (x) (\cos (x) \sin (x))$ .

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Etapa 5.1

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$4 \cos (x) = \sin^{1} (x) \sin (x) \cos (x)$

Etapa 5.2

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$4 \cos (x) = \sin^{1} (x) \sin^{1} (x) \cos (x)$

Etapa 5.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$4 \cos (x) = {\sin (x)}^{1 + 1} \cos (x)$

Etapa 5.4

Some $1$ e $1$ .

$4 \cos (x) = \sin^{2} (x) \cos (x)$

Etapa 6

Subtraia $\sin^{2} (x) \cos (x)$ dos dois lados da equação.

$4 \cos (x) - \sin^{2} (x) \cos (x) = 0$

Etapa 7

Fatore $4 \cos (x) - \sin^{2} (x) \cos (x)$ .

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Etapa 7.1

Fatore $\cos (x)$ de $4 \cos (x) - \sin^{2} (x) \cos (x)$ .

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Etapa 7.1.1

Fatore $\cos (x)$ de $4 \cos (x)$ .

$\cos (x) \cdot 4 - \sin^{2} (x) \cos (x) = 0$

Etapa 7.1.2

Fatore $\cos (x)$ de $- \sin^{2} (x) \cos (x)$ .

$\cos (x) \cdot 4 + \cos (x) (- \sin^{2} (x)) = 0$

Etapa 7.1.3

Fatore $\cos (x)$ de $\cos (x) \cdot 4 + \cos (x) (- \sin^{2} (x))$ .

$\cos (x) (4 - \sin^{2} (x)) = 0$

Etapa 7.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\cos (x) (2^{2} - \sin^{2} (x)) = 0$

Etapa 7.3

Fatore.

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Etapa 7.3.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 2$ e $b = \sin (x)$ .

$\cos (x) ((2 + \sin (x)) (2 - \sin (x))) = 0$

Etapa 7.3.2

Remova os parênteses desnecessários.

$\cos (x) (2 + \sin (x)) (2 - \sin (x)) = 0$

Etapa 8

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$\cos (x) = 0$

$2 + \sin (x) = 0$

$2 - \sin (x) = 0$

Etapa 9

Defina $\cos (x)$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 9.1

Defina $\cos (x)$ como igual a $0$ .

$\cos (x) = 0$

Etapa 9.2

Resolva $\cos (x) = 0$ para $x$ .

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Etapa 9.2.1

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$x = \arccos (0)$

Etapa 9.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 9.2.2.1

O valor exato de $\arccos (0)$ é $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Etapa 9.2.3

A função do cosseno é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Etapa 9.2.4

Simplifique $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Etapa 9.2.4.1

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 9.2.4.2

Combine frações.

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Etapa 9.2.4.2.1

Combine $2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 9.2.4.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Etapa 9.2.4.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 9.2.4.3.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Etapa 9.2.4.3.2

Subtraia $π$ de $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Etapa 9.2.5

Encontre o período de $\cos (x)$ .

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Etapa 9.2.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 9.2.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 9.2.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 9.2.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 9.2.6

O período da função $\cos (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 10

Defina $2 + \sin (x)$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 10.1

Defina $2 + \sin (x)$ como igual a $0$ .

$2 + \sin (x) = 0$

Etapa 10.2

Resolva $2 + \sin (x) = 0$ para $x$ .

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Etapa 10.2.1

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$\sin (x) = - 2$

Etapa 10.2.2

O intervalo do seno é $- 1 \leq y \leq 1$ . Como $- 2$ não se enquadra nesse intervalo, não há solução.

Nenhuma solução

Etapa 11

A solução final são todos os valores que tornam $\cos (x) (2 + \sin (x)) (2 - \sin (x)) = 0$ verdadeiro.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 12

Consolide as respostas.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$