Trigonometria Exemplos

$4 \sin (x) = - \cos^{2} (x) + 1$

Etapa 1

Mova todas as expressões para o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Some $\cos^{2} (x)$ aos dois lados da equação.

$4 \sin (x) + \cos^{2} (x) = 1$

Etapa 1.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$4 \sin (x) + \cos^{2} (x) - 1 = 0$

Etapa 2

Simplifique $4 \sin (x) + \cos^{2} (x) - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Reordene $\cos^{2} (x)$ e $- 1$ .

$4 \sin (x) - 1 + \cos^{2} (x) = 0$

Etapa 2.2

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$4 \sin (x) - 1 (1) + \cos^{2} (x) = 0$

Etapa 2.3

Fatore $- 1$ de $\cos^{2} (x)$ .

$4 \sin (x) - 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x)) = 0$

Etapa 2.4

Fatore $- 1$ de $- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))$ .

$4 \sin (x) - 1 (1 - \cos^{2} (x)) = 0$

Etapa 2.5

Reescreva $- 1 (1 - \cos^{2} (x))$ como $- (1 - \cos^{2} (x))$ .

$4 \sin (x) - (1 - \cos^{2} (x)) = 0$

Etapa 2.6

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$4 \sin (x) - \sin^{2} (x) = 0$

Etapa 3

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Deixe $u = \sin (x)$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $\sin (x)$ .

$4 u - u^{2} = 0$

Etapa 3.1.2

Fatore $u$ de $4 u - u^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1

Fatore $u$ de $4 u$ .

$u \cdot 4 - u^{2} = 0$

Etapa 3.1.2.2

Fatore $u$ de $- u^{2}$ .

$u \cdot 4 + u (- u) = 0$

Etapa 3.1.2.3

Fatore $u$ de $u \cdot 4 + u (- u)$ .

$u (4 - u) = 0$

Etapa 3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\sin (x)$ .

$\sin (x) (4 - \sin (x)) = 0$

Etapa 3.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$\sin (x) = 0$

$4 - \sin (x) = 0$

Etapa 3.3

Defina $\sin (x)$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Defina $\sin (x)$ como igual a $0$ .

$\sin (x) = 0$

Etapa 3.3.2

Resolva $\sin (x) = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x = \arcsin (0)$

Etapa 3.3.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.2.1

O valor exato de $\arcsin (0)$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 3.3.2.3

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$x = π - 0$

Etapa 3.3.2.4

Subtraia $0$ de $π$ .

$x = π$

Etapa 3.3.2.5

Encontre o período de $\sin (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 3.3.2.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 3.3.2.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 3.3.2.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 3.3.2.6

O período da função $\sin (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 3.4

Defina $4 - \sin (x)$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Defina $4 - \sin (x)$ como igual a $0$ .

$4 - \sin (x) = 0$

Etapa 3.4.2

Resolva $4 - \sin (x) = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$- \sin (x) = - 4$

Etapa 3.4.2.2

Divida cada termo em $- \sin (x) = - 4$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.2.1

Divida cada termo em $- \sin (x) = - 4$ por $- 1$ .

$\frac{- \sin (x)}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

Etapa 3.4.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{\sin (x)}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

Etapa 3.4.2.2.2.2

Divida $\sin (x)$ por $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 4}{- 1}$

Etapa 3.4.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.2.3.1

Divida $- 4$ por $- 1$ .

$\sin (x) = 4$

Etapa 3.4.2.3

O intervalo do seno é $- 1 \leq y \leq 1$ . Como $4$ não se enquadra nesse intervalo, não há solução.

Nenhuma solução

Etapa 3.5

A solução final são todos os valores que tornam $\sin (x) (4 - \sin (x)) = 0$ verdadeiro.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 4

Consolide as respostas.

$x = π n$ , para qualquer número inteiro $n$