Trigonometria Exemplos

$\tan (75) = \frac{20}{x}$

Etapa 1

Reescreva a equação como $\frac{20}{x} = \tan (75)$ .

$\frac{20}{x} = \tan (75)$

Etapa 2

O valor exato de $\tan (75)$ é $2 + \sqrt{3}$ .

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Etapa 2.1

Divida $75$ em dois ângulos em que os valores das seis funções trigonométricas sejam conhecidos.

$\frac{20}{x} = \tan (30 + 45)$

Etapa 2.2

Aplique a fórmula da soma dos ângulos.

$\frac{20}{x} = \frac{\tan (30) + \tan (45)}{1 - \tan (30) \tan (45)}$

Etapa 2.3

O valor exato de $\tan (30)$ é $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{20}{x} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \tan (45)}{1 - \tan (30) \tan (45)}$

Etapa 2.4

O valor exato de $\tan (45)$ é $1$ .

$\frac{20}{x} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \tan (30) \tan (45)}$

Etapa 2.5

O valor exato de $\tan (30)$ é $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{20}{x} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \tan (45)}$

Etapa 2.6

O valor exato de $\tan (45)$ é $1$ .

$\frac{20}{x} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1}$

Etapa 2.7

Simplifique $\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1}$ .

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Etapa 2.7.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $3$ .

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Etapa 2.7.1.1

Multiplique $\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{20}{x} = \frac{3}{3} \cdot \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1}$

Etapa 2.7.1.2

Combine.

$\frac{20}{x} = \frac{3 (\frac{\sqrt{3}}{3} + 1)}{3 (1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)}$

Etapa 2.7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{20}{x} = \frac{3 \frac{\sqrt{3}}{3} + 3 \cdot 1}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)}$

Etapa 2.7.3

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 2.7.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{20}{x} = \frac{3 \frac{\sqrt{3}}{3} + 3 \cdot 1}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)}$

Etapa 2.7.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{20}{x} = \frac{\sqrt{3} + 3 \cdot 1}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)}$

Etapa 2.7.4

Multiplique $3$ por $1$ .

$\frac{20}{x} = \frac{\sqrt{3} + 3}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)}$

Etapa 2.7.5

Simplifique o denominador.

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Etapa 2.7.5.1

Multiplique $3$ por $1$ .

$\frac{20}{x} = \frac{\sqrt{3} + 3}{3 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)}$

Etapa 2.7.5.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{20}{x} = \frac{\sqrt{3} + 3}{3 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3})}$

Etapa 2.7.5.3

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 2.7.5.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ para o numerador.

$\frac{20}{x} = \frac{\sqrt{3} + 3}{3 + 3 \frac{- \sqrt{3}}{3}}$

Etapa 2.7.5.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{20}{x} = \frac{\sqrt{3} + 3}{3 + 3 \frac{- \sqrt{3}}{3}}$

Etapa 2.7.5.3.3

Reescreva a expressão.

$\frac{20}{x} = \frac{\sqrt{3} + 3}{3 - \sqrt{3}}$

Etapa 2.7.6

Multiplique $\frac{\sqrt{3} + 3}{3 - \sqrt{3}}$ por $\frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ .

$\frac{20}{x} = \frac{\sqrt{3} + 3}{3 - \sqrt{3}} \cdot \frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$

Etapa 2.7.7

Multiplique $\frac{\sqrt{3} + 3}{3 - \sqrt{3}}$ por $\frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ .

$\frac{20}{x} = \frac{(\sqrt{3} + 3) (3 + \sqrt{3})}{(3 - \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})}$

Etapa 2.7.8

Expanda o denominador usando o método FOIL.

$\frac{20}{x} = \frac{(\sqrt{3} + 3) (3 + \sqrt{3})}{9 + 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{2}}$

Etapa 2.7.9

Simplifique.

$\frac{20}{x} = \frac{(\sqrt{3} + 3) (3 + \sqrt{3})}{6}$

Etapa 2.7.10

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.7.10.1

Reordene os termos.

$\frac{20}{x} = \frac{(3 + \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})}{6}$

Etapa 2.7.10.2

Eleve $3 + \sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$\frac{20}{x} = \frac{{(3 + \sqrt{3})}^{1} (3 + \sqrt{3})}{6}$

Etapa 2.7.10.3

Eleve $3 + \sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$\frac{20}{x} = \frac{{(3 + \sqrt{3})}^{1} {(3 + \sqrt{3})}^{1}}{6}$

Etapa 2.7.10.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{20}{x} = \frac{{(3 + \sqrt{3})}^{1 + 1}}{6}$

Etapa 2.7.10.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{20}{x} = \frac{{(3 + \sqrt{3})}^{2}}{6}$

Etapa 2.7.11

Reescreva ${(3 + \sqrt{3})}^{2}$ como $(3 + \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})$ .

$\frac{20}{x} = \frac{(3 + \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})}{6}$

Etapa 2.7.12

Expanda $(3 + \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.7.12.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{20}{x} = \frac{3 (3 + \sqrt{3}) + \sqrt{3} (3 + \sqrt{3})}{6}$

Etapa 2.7.12.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{20}{x} = \frac{3 \cdot 3 + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} (3 + \sqrt{3})}{6}$

Etapa 2.7.12.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{20}{x} = \frac{3 \cdot 3 + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 3 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6}$

Etapa 2.7.13

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 2.7.13.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.7.13.1.1

Multiplique $3$ por $3$ .

$\frac{20}{x} = \frac{9 + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 3 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6}$

Etapa 2.7.13.1.2

Mova $3$ para a esquerda de $\sqrt{3}$ .

$\frac{20}{x} = \frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6}$

Etapa 2.7.13.1.3

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\frac{20}{x} = \frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3}}{6}$

Etapa 2.7.13.1.4

Multiplique $3$ por $3$ .

$\frac{20}{x} = \frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + \sqrt{9}}{6}$

Etapa 2.7.13.1.5

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{20}{x} = \frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}}{6}$

Etapa 2.7.13.1.6

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{20}{x} = \frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + 3}{6}$

Etapa 2.7.13.2

Some $9$ e $3$ .

$\frac{20}{x} = \frac{12 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3}}{6}$

Etapa 2.7.13.3

Some $3 \sqrt{3}$ e $3 \sqrt{3}$ .

$\frac{20}{x} = \frac{12 + 6 \sqrt{3}}{6}$

Etapa 2.7.14

Cancele o fator comum de $12 + 6 \sqrt{3}$ e $6$ .

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Etapa 2.7.14.1

Fatore $6$ de $12$ .

$\frac{20}{x} = \frac{6 \cdot 2 + 6 \sqrt{3}}{6}$

Etapa 2.7.14.2

Fatore $6$ de $6 \sqrt{3}$ .

$\frac{20}{x} = \frac{6 \cdot 2 + 6 (\sqrt{3})}{6}$

Etapa 2.7.14.3

Fatore $6$ de $6 (2) + 6 (\sqrt{3})$ .

$\frac{20}{x} = \frac{6 (2 + \sqrt{3})}{6}$

Etapa 2.7.14.4

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.7.14.4.1

Fatore $6$ de $6$ .

$\frac{20}{x} = \frac{6 (2 + \sqrt{3})}{6 (1)}$

Etapa 2.7.14.4.2

Cancele o fator comum.

$\frac{20}{x} = \frac{6 (2 + \sqrt{3})}{6 \cdot 1}$

Etapa 2.7.14.4.3

Reescreva a expressão.

$\frac{20}{x} = \frac{2 + \sqrt{3}}{1}$

Etapa 2.7.14.4.4

Divida $2 + \sqrt{3}$ por $1$ .

$\frac{20}{x} = 2 + \sqrt{3}$

Etapa 3

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 3.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$x, 1, 1$

Etapa 3.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$x$

Etapa 4

Multiplique cada termo em $\frac{20}{x} = 2 + \sqrt{3}$ por $x$ para eliminar as frações.

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Etapa 4.1

Multiplique cada termo em $\frac{20}{x} = 2 + \sqrt{3}$ por $x$ .

$\frac{20}{x} x = 2 x + \sqrt{3} x$

Etapa 4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{20}{x} x = 2 x + \sqrt{3} x$

Etapa 4.2.1.2

Reescreva a expressão.

$20 = 2 x + \sqrt{3} x$

Etapa 5

Resolva a equação.

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Etapa 5.1

Reescreva a equação como $2 x + \sqrt{3} x = 20$ .

$2 x + \sqrt{3} x = 20$

Etapa 5.2

Fatore $x$ de $2 x + \sqrt{3} x$ .

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Etapa 5.2.1

Fatore $x$ de $2 x$ .

$x \cdot 2 + \sqrt{3} x = 20$

Etapa 5.2.2

Fatore $x$ de $\sqrt{3} x$ .

$x \cdot 2 + x \sqrt{3} = 20$

Etapa 5.2.3

Fatore $x$ de $x \cdot 2 + x \sqrt{3}$ .

$x (2 + \sqrt{3}) = 20$

Etapa 5.3

Divida cada termo em $x (2 + \sqrt{3}) = 20$ por $2 + \sqrt{3}$ e simplifique.

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Etapa 5.3.1

Divida cada termo em $x (2 + \sqrt{3}) = 20$ por $2 + \sqrt{3}$ .

$\frac{x (2 + \sqrt{3})}{2 + \sqrt{3}} = \frac{20}{2 + \sqrt{3}}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.2.1

Cancele o fator comum de $2 + \sqrt{3}$ .

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Etapa 5.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x (2 + \sqrt{3})}{2 + \sqrt{3}} = \frac{20}{2 + \sqrt{3}}$

Etapa 5.3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{20}{2 + \sqrt{3}}$

Etapa 5.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.3.1

Multiplique $\frac{20}{2 + \sqrt{3}}$ por $\frac{2 - \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}}$ .

$x = \frac{20}{2 + \sqrt{3}} \cdot \frac{2 - \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}}$

Etapa 5.3.3.2

Multiplique $\frac{20}{2 + \sqrt{3}}$ por $\frac{2 - \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}}$ .

$x = \frac{20 (2 - \sqrt{3})}{(2 + \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3})}$

Etapa 5.3.3.3

Expanda o denominador usando o método FOIL.

$x = \frac{20 (2 - \sqrt{3})}{4 - 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 2 - {\sqrt{3}}^{2}}$

Etapa 5.3.3.4

Simplifique.

$x = \frac{20 (2 - \sqrt{3})}{1}$

Etapa 5.3.3.5

Divida $20 (2 - \sqrt{3})$ por $1$ .

$x = 20 (2 - \sqrt{3})$

Etapa 5.3.3.6

Aplique a propriedade distributiva.

$x = 20 \cdot 2 + 20 (- \sqrt{3})$

Etapa 5.3.3.7

Multiplique.

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Etapa 5.3.3.7.1

Multiplique $20$ por $2$ .

$x = 40 + 20 (- \sqrt{3})$

Etapa 5.3.3.7.2

Multiplique $- 1$ por $20$ .

$x = 40 - 20 \sqrt{3}$

Etapa 6

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = 40 - 20 \sqrt{3}$

Forma decimal:

$x = 5.35898384 \dots$