Trigonometria Exemplos

$\sec (\frac{5 π}{3} - \frac{3 π}{4}) = \csc (x)$

Etapa 1

Reescreva a equação como $\csc (x) = \sec (\frac{5 π}{3} - \frac{3 π}{4})$ .

$\csc (x) = \sec (\frac{5 π}{3} - \frac{3 π}{4})$

Etapa 2

Simplifique $\sec (\frac{5 π}{3} - \frac{3 π}{4})$ .

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Etapa 2.1

Para escrever $\frac{5 π}{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$\csc (x) = \sec (\frac{5 π}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 π}{4})$

Etapa 2.2

Para escrever $- \frac{3 π}{4}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\csc (x) = \sec (\frac{5 π}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 π}{4} \cdot \frac{3}{3})$

Etapa 2.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $12$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 2.3.1

Multiplique $\frac{5 π}{3}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\csc (x) = \sec (\frac{5 π \cdot 4}{3 \cdot 4} - \frac{3 π}{4} \cdot \frac{3}{3})$

Etapa 2.3.2

Multiplique $3$ por $4$ .

$\csc (x) = \sec (\frac{5 π \cdot 4}{12} - \frac{3 π}{4} \cdot \frac{3}{3})$

Etapa 2.3.3

Multiplique $\frac{3 π}{4}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\csc (x) = \sec (\frac{5 π \cdot 4}{12} - \frac{3 π \cdot 3}{4 \cdot 3})$

Etapa 2.3.4

Multiplique $4$ por $3$ .

$\csc (x) = \sec (\frac{5 π \cdot 4}{12} - \frac{3 π \cdot 3}{12})$

Etapa 2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\csc (x) = \sec (\frac{5 π \cdot 4 - 3 π \cdot 3}{12})$

Etapa 2.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.5.1

Multiplique $4$ por $5$ .

$\csc (x) = \sec (\frac{20 π - 3 π \cdot 3}{12})$

Etapa 2.5.2

Multiplique $3$ por $- 3$ .

$\csc (x) = \sec (\frac{20 π - 9 π}{12})$

Etapa 2.5.3

Subtraia $9 π$ de $20 π$ .

$\csc (x) = \sec (\frac{11 π}{12})$

Etapa 2.6

O valor exato de $\sec (\frac{11 π}{12})$ é $- \sqrt{6} + \sqrt{2}$ .

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Etapa 2.6.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois a secante é negativa no segundo quadrante.

$\csc (x) = - \sec (\frac{π}{12})$

Etapa 2.6.2

Divida $\frac{π}{12}$ em dois ângulos em que os valores das seis funções trigonométricas sejam conhecidos.

$\csc (x) = - \sec (\frac{π}{4} - \frac{π}{6})$

Etapa 2.6.3

Aplique a fórmula da diferença dos ângulos.

$\csc (x) = - \frac{\sec (\frac{π}{4}) \sec (\frac{π}{6}) \csc (\frac{π}{4}) \csc (\frac{π}{6})}{\csc (\frac{π}{4}) \csc (\frac{π}{6}) + \sec (\frac{π}{4}) \sec (\frac{π}{6})}$

Etapa 2.6.4

O valor exato de $\sec (\frac{π}{4})$ é $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$\csc (x) = - \frac{\frac{2}{\sqrt{2}} \sec (\frac{π}{6}) \csc (\frac{π}{4}) \csc (\frac{π}{6})}{\csc (\frac{π}{4}) \csc (\frac{π}{6}) + \sec (\frac{π}{4}) \sec (\frac{π}{6})}$

Etapa 2.6.5

O valor exato de $\sec (\frac{π}{6})$ é $\frac{2}{\sqrt{3}}$ .

$\csc (x) = - \frac{\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} \csc (\frac{π}{4}) \csc (\frac{π}{6})}{\csc (\frac{π}{4}) \csc (\frac{π}{6}) + \sec (\frac{π}{4}) \sec (\frac{π}{6})}$

Etapa 2.6.6

O valor exato de $\csc (\frac{π}{4})$ é $\sqrt{2}$ .

$\csc (x) = - \frac{\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} \sqrt{2} \csc (\frac{π}{6})}{\csc (\frac{π}{4}) \csc (\frac{π}{6}) + \sec (\frac{π}{4}) \sec (\frac{π}{6})}$

Etapa 2.6.7

O valor exato de $\csc (\frac{π}{6})$ é $2$ .

$\csc (x) = - \frac{\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} \sqrt{2} \cdot 2}{\csc (\frac{π}{4}) \csc (\frac{π}{6}) + \sec (\frac{π}{4}) \sec (\frac{π}{6})}$

Etapa 2.6.8

O valor exato de $\csc (\frac{π}{4})$ é $\sqrt{2}$ .

$\csc (x) = - \frac{\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \csc (\frac{π}{6}) + \sec (\frac{π}{4}) \sec (\frac{π}{6})}$

Etapa 2.6.9

O valor exato de $\csc (\frac{π}{6})$ é $2$ .

$\csc (x) = - \frac{\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \cdot 2 + \sec (\frac{π}{4}) \sec (\frac{π}{6})}$

Etapa 2.6.10

O valor exato de $\sec (\frac{π}{4})$ é $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$\csc (x) = - \frac{\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \cdot 2 + \frac{2}{\sqrt{2}} \sec (\frac{π}{6})}$

Etapa 2.6.11

O valor exato de $\sec (\frac{π}{6})$ é $\frac{2}{\sqrt{3}}$ .

$\csc (x) = - \frac{\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \cdot 2 + \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}}$

Etapa 2.6.12

Simplifique $- \frac{\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \cdot 2 + \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}}$ .

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Etapa 2.6.12.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.6.12.1.1

Multiplique $\frac{2}{\sqrt{2}}$ por $\frac{2}{\sqrt{3}}$ .

$\csc (x) = - \frac{\frac{2 \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}} \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \cdot 2 + \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}}$

Etapa 2.6.12.1.2

Combine $\frac{2 \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}$ e $\sqrt{2}$ .

$\csc (x) = - \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{3}} \cdot 2}{\sqrt{2} \cdot 2 + \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}}$

Etapa 2.6.12.1.3

Combine $\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{3}}$ e $2$ .

$\csc (x) = - \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{\sqrt{2} \cdot 2 + \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}}$

Etapa 2.6.12.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 2.6.12.2.1

Mova $2$ para a esquerda de $\sqrt{2}$ .

$\csc (x) = - \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \cdot \sqrt{2} + \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}}$

Etapa 2.6.12.2.2

Multiplique $\frac{2}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\csc (x) = - \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \frac{2}{\sqrt{3}}}$

Etapa 2.6.12.2.3

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 2.6.12.2.3.1

Multiplique $\frac{2}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\csc (x) = - \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}}$

Etapa 2.6.12.2.3.2

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$\csc (x) = - \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}}$

Etapa 2.6.12.2.3.3

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$\csc (x) = - \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}}$

Etapa 2.6.12.2.3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\csc (x) = - \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}}$

Etapa 2.6.12.2.3.5

Some $1$ e $1$ .

$\csc (x) = - \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}}$

Etapa 2.6.12.2.3.6

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Etapa 2.6.12.2.3.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\csc (x) = - \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}}$

Etapa 2.6.12.2.3.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\csc (x) = - \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}}$

Etapa 2.6.12.2.3.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\csc (x) = - \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}}$

Etapa 2.6.12.2.3.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.6.12.2.3.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\csc (x) = - \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}}$

Etapa 2.6.12.2.3.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\csc (x) = - \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}}$

Etapa 2.6.12.2.3.6.5

Avalie o expoente.

$\csc (x) = - \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}}$

Etapa 2.6.12.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.6.12.2.4.1

Cancele o fator comum.

$\csc (x) = - \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}}$

Etapa 2.6.12.2.4.2

Reescreva a expressão.

$\csc (x) = - \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} \frac{1}{\sqrt{3}}}$

Etapa 2.6.12.2.5

Combine $\frac{1}{\sqrt{3}}$ e $2$ .

$\csc (x) = - \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2}{\sqrt{3}} \sqrt{2}}$

Etapa 2.6.12.2.6

Combine $\frac{2}{\sqrt{3}}$ e $\sqrt{2}$ .

$\csc (x) = - \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{3}}}$

Etapa 2.6.12.2.7

Multiplique $\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\csc (x) = - \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}}$

Etapa 2.6.12.2.8

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 2.6.12.2.8.1

Multiplique $\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\csc (x) = - \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}}$

Etapa 2.6.12.2.8.2

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$\csc (x) = - \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}}$

Etapa 2.6.12.2.8.3

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$\csc (x) = - \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}}$

Etapa 2.6.12.2.8.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\csc (x) = - \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}}$

Etapa 2.6.12.2.8.5

Some $1$ e $1$ .

$\csc (x) = - \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}}$

Etapa 2.6.12.2.8.6

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Etapa 2.6.12.2.8.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\csc (x) = - \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}}$

Etapa 2.6.12.2.8.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\csc (x) = - \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}$

Etapa 2.6.12.2.8.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\csc (x) = - \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}}$

Etapa 2.6.12.2.8.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.6.12.2.8.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\csc (x) = - \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}}$

Etapa 2.6.12.2.8.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\csc (x) = - \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{1}}}$

Etapa 2.6.12.2.8.6.5

Avalie o expoente.

$\csc (x) = - \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{3}}$

Etapa 2.6.12.2.9

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.6.12.2.9.1

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\csc (x) = - \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{3 \cdot 2}}{3}}$

Etapa 2.6.12.2.9.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$\csc (x) = - \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{6}}{3}}$

Etapa 2.6.12.2.10

Para escrever $2 \sqrt{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\csc (x) = - \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{2 \sqrt{6}}{3}}$

Etapa 2.6.12.2.11

Combine $2 \sqrt{2}$ e $\frac{3}{3}$ .

$\csc (x) = - \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{\frac{2 \sqrt{2} \cdot 3}{3} + \frac{2 \sqrt{6}}{3}}$

Etapa 2.6.12.2.12

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\csc (x) = - \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{\frac{2 \sqrt{2} \cdot 3 + 2 \sqrt{6}}{3}}$

Etapa 2.6.12.2.13

Multiplique $3$ por $2$ .

$\csc (x) = - \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{\frac{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}{3}}$

Etapa 2.6.12.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.6.12.3.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$\csc (x) = - \frac{\frac{4 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{\frac{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}{3}}$

Etapa 2.6.12.3.2

Multiplique $2$ por $4$ .

$\csc (x) = - \frac{\frac{8 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{\frac{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}{3}}$

Etapa 2.6.12.4

Simplifique o denominador.

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Etapa 2.6.12.4.1

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\csc (x) = - \frac{\frac{8 \sqrt{2}}{\sqrt{2 \cdot 3}}}{\frac{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}{3}}$

Etapa 2.6.12.4.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$\csc (x) = - \frac{\frac{8 \sqrt{2}}{\sqrt{6}}}{\frac{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}{3}}$

Etapa 2.6.12.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.12.5.1

Combine $\sqrt{2}$ e $\sqrt{6}$ em um único radical.

$\csc (x) = - \frac{8 \sqrt{\frac{2}{6}}}{\frac{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}{3}}$

Etapa 2.6.12.5.2

Cancele o fator comum de $2$ e $6$ .

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Etapa 2.6.12.5.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\csc (x) = - \frac{8 \sqrt{\frac{2 (1)}{6}}}{\frac{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}{3}}$

Etapa 2.6.12.5.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.6.12.5.2.2.1

Fatore $2$ de $6$ .

$\csc (x) = - \frac{8 \sqrt{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}}}{\frac{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}{3}}$

Etapa 2.6.12.5.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\csc (x) = - \frac{8 \sqrt{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}}}{\frac{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}{3}}$

Etapa 2.6.12.5.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\csc (x) = - \frac{8 \sqrt{\frac{1}{3}}}{\frac{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}{3}}$

Etapa 2.6.12.5.3

Reescreva $\sqrt{\frac{1}{3}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ .

$\csc (x) = - \frac{8 \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}}{\frac{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}{3}}$

Etapa 2.6.12.5.4

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$\csc (x) = - \frac{8 \frac{1}{\sqrt{3}}}{\frac{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}{3}}$

Etapa 2.6.12.5.5

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\csc (x) = - \frac{8 (\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})}{\frac{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}{3}}$

Etapa 2.6.12.5.6

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.12.5.6.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\csc (x) = - \frac{8 \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}}{\frac{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}{3}}$

Etapa 2.6.12.5.6.2

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$\csc (x) = - \frac{8 \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}}{\frac{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}{3}}$

Etapa 2.6.12.5.6.3

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$\csc (x) = - \frac{8 \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}}{\frac{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}{3}}$

Etapa 2.6.12.5.6.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\csc (x) = - \frac{8 \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}}{\frac{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}{3}}$

Etapa 2.6.12.5.6.5

Some $1$ e $1$ .

$\csc (x) = - \frac{8 \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}}{\frac{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}{3}}$

Etapa 2.6.12.5.6.6

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.12.5.6.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\csc (x) = - \frac{8 \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{\frac{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}{3}}$

Etapa 2.6.12.5.6.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\csc (x) = - \frac{8 \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{\frac{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}{3}}$

Etapa 2.6.12.5.6.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\csc (x) = - \frac{8 \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}}{\frac{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}{3}}$

Etapa 2.6.12.5.6.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.12.5.6.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\csc (x) = - \frac{8 \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}}{\frac{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}{3}}$

Etapa 2.6.12.5.6.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\csc (x) = - \frac{8 \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}}{\frac{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}{3}}$

Etapa 2.6.12.5.6.6.5

Avalie o expoente.

$\csc (x) = - \frac{8 \frac{\sqrt{3}}{3}}{\frac{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}{3}}$

Etapa 2.6.12.5.7

Combine $8$ e $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\csc (x) = - \frac{\frac{8 \sqrt{3}}{3}}{\frac{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}{3}}$

Etapa 2.6.12.6

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\csc (x) = - (\frac{8 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}})$

Etapa 2.6.12.7

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.12.7.1

Cancele o fator comum.

$\csc (x) = - (\frac{8 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}})$

Etapa 2.6.12.7.2

Reescreva a expressão.

$\csc (x) = - (8 \sqrt{3} \frac{1}{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}})$

Etapa 2.6.12.8

Combine $\frac{1}{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}$ e $8$ .

$\csc (x) = - (\frac{8}{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}} \sqrt{3})$

Etapa 2.6.12.9

Combine $\frac{8}{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}$ e $\sqrt{3}$ .

$\csc (x) = - \frac{8 \sqrt{3}}{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}$

Etapa 2.6.12.10

Cancele o fator comum de $8$ e $6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.12.10.1

Fatore $2$ de $8 \sqrt{3}$ .

$\csc (x) = - \frac{2 (4 \sqrt{3})}{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}$

Etapa 2.6.12.10.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.12.10.2.1

Fatore $2$ de $6 \sqrt{2}$ .

$\csc (x) = - \frac{2 (4 \sqrt{3})}{2 (3 \sqrt{2}) + 2 \sqrt{6}}$

Etapa 2.6.12.10.2.2

Fatore $2$ de $2 \sqrt{6}$ .

$\csc (x) = - \frac{2 (4 \sqrt{3})}{2 (3 \sqrt{2}) + 2 (\sqrt{6})}$

Etapa 2.6.12.10.2.3

Fatore $2$ de $2 (3 \sqrt{2}) + 2 (\sqrt{6})$ .

$\csc (x) = - \frac{2 (4 \sqrt{3})}{2 (3 \sqrt{2} + \sqrt{6})}$

Etapa 2.6.12.10.2.4

Cancele o fator comum.

$\csc (x) = - \frac{2 (4 \sqrt{3})}{2 (3 \sqrt{2} + \sqrt{6})}$

Etapa 2.6.12.10.2.5

Reescreva a expressão.

$\csc (x) = - \frac{4 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}$

Etapa 2.6.12.11

Multiplique $\frac{4 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}$ por $\frac{3 \sqrt{2} - \sqrt{6}}{3 \sqrt{2} - \sqrt{6}}$ .

$\csc (x) = - (\frac{4 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}} \cdot \frac{3 \sqrt{2} - \sqrt{6}}{3 \sqrt{2} - \sqrt{6}})$

Etapa 2.6.12.12

Multiplique $\frac{4 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}$ por $\frac{3 \sqrt{2} - \sqrt{6}}{3 \sqrt{2} - \sqrt{6}}$ .

$\csc (x) = - \frac{4 \sqrt{3} (3 \sqrt{2} - \sqrt{6})}{(3 \sqrt{2} + \sqrt{6}) (3 \sqrt{2} - \sqrt{6})}$

Etapa 2.6.12.13

Expanda o denominador usando o método FOIL.

$\csc (x) = - \frac{4 \sqrt{3} (3 \sqrt{2} - \sqrt{6})}{9 {\sqrt{2}}^{2} - 3 \sqrt{12} + 3 \sqrt{12} - {\sqrt{6}}^{2}}$

Etapa 2.6.12.14

Simplifique.

$\csc (x) = - \frac{4 \sqrt{3} (3 \sqrt{2} - \sqrt{6})}{12}$

Etapa 2.6.12.15

Cancele o fator comum de $4$ e $12$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.12.15.1

Fatore $4$ de $4 \sqrt{3} (3 \sqrt{2} - \sqrt{6})$ .

$\csc (x) = - \frac{4 (\sqrt{3} (3 \sqrt{2} - \sqrt{6}))}{12}$

Etapa 2.6.12.15.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.12.15.2.1

Fatore $4$ de $12$ .

$\csc (x) = - \frac{4 (\sqrt{3} (3 \sqrt{2} - \sqrt{6}))}{4 \cdot 3}$

Etapa 2.6.12.15.2.2

Cancele o fator comum.

$\csc (x) = - \frac{4 (\sqrt{3} (3 \sqrt{2} - \sqrt{6}))}{4 \cdot 3}$

Etapa 2.6.12.15.2.3

Reescreva a expressão.

$\csc (x) = - \frac{\sqrt{3} (3 \sqrt{2} - \sqrt{6})}{3}$

Etapa 2.6.12.16

Aplique a propriedade distributiva.

$\csc (x) = - \frac{\sqrt{3} (3 \sqrt{2}) + \sqrt{3} (- \sqrt{6})}{3}$

Etapa 2.6.12.17

Multiplique $\sqrt{3} (3 \sqrt{2})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.12.17.1

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\csc (x) = - \frac{3 \sqrt{3 \cdot 2} + \sqrt{3} (- \sqrt{6})}{3}$

Etapa 2.6.12.17.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$\csc (x) = - \frac{3 \sqrt{6} + \sqrt{3} (- \sqrt{6})}{3}$

Etapa 2.6.12.18

Multiplique $\sqrt{3} (- \sqrt{6})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.12.18.1

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\csc (x) = - \frac{3 \sqrt{6} - \sqrt{3 \cdot 6}}{3}$

Etapa 2.6.12.18.2

Multiplique $3$ por $6$ .

$\csc (x) = - \frac{3 \sqrt{6} - \sqrt{18}}{3}$

Etapa 2.6.12.19

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.12.19.1

Reescreva $18$ como $3^{2} \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.12.19.1.1

Fatore $9$ de $18$ .

$\csc (x) = - \frac{3 \sqrt{6} - \sqrt{9 (2)}}{3}$

Etapa 2.6.12.19.1.2

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$\csc (x) = - \frac{3 \sqrt{6} - \sqrt{3^{2} \cdot 2}}{3}$

Etapa 2.6.12.19.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$\csc (x) = - \frac{3 \sqrt{6} - (3 \sqrt{2})}{3}$

Etapa 2.6.12.19.3

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\csc (x) = - \frac{3 \sqrt{6} - 3 \sqrt{2}}{3}$

Etapa 2.6.12.20

Cancele o fator comum de $3 \sqrt{6} - 3 \sqrt{2}$ e $3$ .

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Etapa 2.6.12.20.1

Fatore $3$ de $3 \sqrt{6}$ .

$\csc (x) = - \frac{3 (\sqrt{6}) - 3 \sqrt{2}}{3}$

Etapa 2.6.12.20.2

Fatore $3$ de $- 3 \sqrt{2}$ .

$\csc (x) = - \frac{3 (\sqrt{6}) + 3 (- \sqrt{2})}{3}$

Etapa 2.6.12.20.3

Fatore $3$ de $3 (\sqrt{6}) + 3 (- \sqrt{2})$ .

$\csc (x) = - \frac{3 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{3}$

Etapa 2.6.12.20.4

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.6.12.20.4.1

Fatore $3$ de $3$ .

$\csc (x) = - \frac{3 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{3 (1)}$

Etapa 2.6.12.20.4.2

Cancele o fator comum.

$\csc (x) = - \frac{3 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{3 \cdot 1}$

Etapa 2.6.12.20.4.3

Reescreva a expressão.

$\csc (x) = - \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{1}$

Etapa 2.6.12.20.4.4

Divida $\sqrt{6} - \sqrt{2}$ por $1$ .

$\csc (x) = - (\sqrt{6} - \sqrt{2})$

Etapa 2.6.12.21

Aplique a propriedade distributiva.

$\csc (x) = - \sqrt{6} - - \sqrt{2}$

Etapa 2.6.12.22

Multiplique $- - \sqrt{2}$ .

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Etapa 2.6.12.22.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\csc (x) = - \sqrt{6} + 1 \sqrt{2}$

Etapa 2.6.12.22.2

Multiplique $\sqrt{2}$ por $1$ .

$\csc (x) = - \sqrt{6} + \sqrt{2}$

Etapa 3

Converta o lado direito da equação em seu equivalente decimal.

$\csc (x) = - 1.03527618$

Etapa 4

Obtenha a cossecante inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da cossecante.

$x = arccsc (- 1.03527618)$

Etapa 5

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.1

Avalie $arccsc (- 1.03527618)$ .

$x = - \frac{5 π}{12}$

Etapa 6

The cosecant function is negative in the third and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the solution from $2 π$ , to find a reference angle. Next, add this reference angle to $π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = 2 π + \frac{5 π}{12} + π$

Etapa 7

Simplifique a expressão para encontrar a segunda solução.

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Etapa 7.1

Subtraia $2 π$ de $2 π + \frac{5 π}{12} + π$ .

$x = 2 π + \frac{5 π}{12} + π - 2 π$

Etapa 7.2

O ângulo resultante de $\frac{17 π}{12}$ é positivo, menor do que $2 π$ e coterminal com $2 π + \frac{5 π}{12} + π$ .

$x = \frac{17 π}{12}$

Etapa 8

Encontre o período de $\csc (x)$ .

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Etapa 8.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 8.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 8.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 8.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 9

Some $2 π$ com todos os ângulos negativos para obter os ângulos positivos.

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Etapa 9.1

Some $2 π$ com $- \frac{5 π}{12}$ para encontrar o ângulo positivo.

$- \frac{5 π}{12} + 2 π$

Etapa 9.2

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{12}{12}$ .

$2 π \cdot \frac{12}{12} - \frac{5 π}{12}$

Etapa 9.3

Combine frações.

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Etapa 9.3.1

Combine $2 π$ e $\frac{12}{12}$ .

$\frac{2 π \cdot 12}{12} - \frac{5 π}{12}$

Etapa 9.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 π \cdot 12 - 5 π}{12}$

Etapa 9.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 9.4.1

Multiplique $12$ por $2$ .

$\frac{24 π - 5 π}{12}$

Etapa 9.4.2

Subtraia $5 π$ de $24 π$ .

$\frac{19 π}{12}$

Etapa 9.5

Liste os novos ângulos.

$x = \frac{19 π}{12}$

Etapa 10

O período da função $\csc (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{17 π}{12} + 2 π n, \frac{19 π}{12} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$