Trigonometria Exemplos

$\ln (x) + \ln ({(x)}^{2}) = 6$

Etapa 1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.1

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (x \cdot x^{2}) = 6$

Etapa 1.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 1.2.1

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 1.2.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\ln (x \cdot x^{2}) = 6$

Etapa 1.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\ln (x^{1 + 2}) = 6$

Etapa 1.2.2

Some $1$ e $2$ .

$\ln (x^{3}) = 6$

Etapa 2

Para resolver $x$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (x^{3})} = e^{6}$

Etapa 3

Reescreva $\ln (x^{3}) = 6$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{6} = x^{3}$

Etapa 4

Resolva $x$ .

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Etapa 4.1

Reescreva a equação como $x^{3} = e^{6}$ .

$x^{3} = e^{6}$

Etapa 4.2

Subtraia $e^{6}$ dos dois lados da equação.

$x^{3} - e^{6} = 0$

Etapa 4.3

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 4.3.1

Reescreva $e^{6}$ como ${(e^{2})}^{3}$ .

$x^{3} - {(e^{2})}^{3} = 0$

Etapa 4.3.2

Como os dois termos são cubos perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ em que $a = x$ e $b = e^{2}$ .

$(x - e^{2}) (x^{2} + x e^{2} + {(e^{2})}^{2}) = 0$

Etapa 4.3.3

Simplifique.

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Etapa 4.3.3.1

Multiplique os expoentes em ${(e^{2})}^{2}$ .

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Etapa 4.3.3.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(x - e^{2}) (x^{2} + x e^{2} + e^{2 \cdot 2}) = 0$

Etapa 4.3.3.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$(x - e^{2}) (x^{2} + x e^{2} + e^{4}) = 0$

Etapa 4.3.3.2

Reordene os termos.

$(x - e^{2}) (e^{4} + x^{2} + e^{2} x) = 0$

Etapa 4.4

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - e^{2} = 0$

$e^{4} + x^{2} + e^{2} x = 0$

Etapa 4.5

Defina $x - e^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 4.5.1

Defina $x - e^{2}$ como igual a $0$ .

$x - e^{2} = 0$

Etapa 4.5.2

Some $e^{2}$ aos dois lados da equação.

$x = e^{2}$

Etapa 4.6

Defina $e^{4} + x^{2} + e^{2} x$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 4.6.1

Defina $e^{4} + x^{2} + e^{2} x$ como igual a $0$ .

$e^{4} + x^{2} + e^{2} x = 0$

Etapa 4.6.2

Resolva $e^{4} + x^{2} + e^{2} x = 0$ para $x$ .

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Etapa 4.6.2.1

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 4.6.2.2

Substitua os valores $a = 1$ , $b = e^{2}$ e $c = e^{4}$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{- e^{2} \pm \sqrt{{(e^{2})}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot e^{4})}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.6.2.3

Simplifique.

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Etapa 4.6.2.3.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.6.2.3.1.1

Reescreva $4 \cdot 1 \cdot e^{4}$ como ${(2 \cdot 1 \cdot e^{2})}^{2}$ .

$x = \frac{- e^{2} \pm \sqrt{{(e^{2})}^{2} - {(2 \cdot 1 \cdot e^{2})}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.6.2.3.1.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = e^{2}$ e $b = 2 \cdot 1 \cdot e^{2}$ .

$x = \frac{- e^{2} \pm \sqrt{(e^{2} + 2 \cdot 1 \cdot e^{2}) (e^{2} - (2 \cdot 1 \cdot e^{2}))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.6.2.3.1.3

Simplifique.

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Etapa 4.6.2.3.1.3.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{- e^{2} \pm \sqrt{(e^{2} + 2 \cdot e^{2}) (e^{2} - (2 \cdot 1 \cdot e^{2}))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.6.2.3.1.3.2

Some $e^{2}$ e $2 e^{2}$ .

$x = \frac{- e^{2} \pm \sqrt{3 e^{2} (e^{2} - (2 \cdot 1 \cdot e^{2}))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.6.2.3.1.3.3

Combine expoentes.

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Etapa 4.6.2.3.1.3.3.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{- e^{2} \pm \sqrt{3 e^{2} (e^{2} - (2 \cdot e^{2}))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.6.2.3.1.3.3.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$x = \frac{- e^{2} \pm \sqrt{3 e^{2} (e^{2} - 2 e^{2})}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.6.2.3.1.4

Subtraia $2 e^{2}$ de $e^{2}$ .

$x = \frac{- e^{2} \pm \sqrt{3 e^{2} \cdot (- 1 e^{2})}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.6.2.3.1.5

Combine expoentes.

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Etapa 4.6.2.3.1.5.1

Fatore o negativo.

$x = \frac{- e^{2} \pm \sqrt{- (3 e^{2} e^{2})}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.6.2.3.1.5.2

Multiplique $e^{2}$ por $e^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 4.6.2.3.1.5.2.1

Mova $e^{2}$ .

$x = \frac{- e^{2} \pm \sqrt{- (3 (e^{2} e^{2}))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.6.2.3.1.5.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x = \frac{- e^{2} \pm \sqrt{- (3 e^{2 + 2})}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.6.2.3.1.5.2.3

Some $2$ e $2$ .

$x = \frac{- e^{2} \pm \sqrt{- (3 e^{4})}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.6.2.3.1.5.3

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$x = \frac{- e^{2} \pm \sqrt{- 3 e^{4}}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.6.2.3.1.6

Reescreva $- 3 e^{4}$ como ${(i e^{2})}^{2} \cdot 3$ .

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Etapa 4.6.2.3.1.6.1

Reescreva $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- e^{2} \pm \sqrt{- 1 \cdot 3 e^{4}}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.6.2.3.1.6.2

Reescreva $- 1$ como $i^{2}$ .

$x = \frac{- e^{2} \pm \sqrt{i^{2} \cdot (3 e^{4})}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.6.2.3.1.6.3

Reescreva $e^{4}$ como ${(e^{2})}^{2}$ .

$x = \frac{- e^{2} \pm \sqrt{i^{2} \cdot (3 {(e^{2})}^{2})}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.6.2.3.1.6.4

Mova $3$ .

$x = \frac{- e^{2} \pm \sqrt{i^{2} {(e^{2})}^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.6.2.3.1.6.5

Reescreva $i^{2} {(e^{2})}^{2}$ como ${(i e^{2})}^{2}$ .

$x = \frac{- e^{2} \pm \sqrt{{(i e^{2})}^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.6.2.3.1.7

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{- e^{2} \pm i e^{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.6.2.3.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{- e^{2} \pm i e^{2} \sqrt{3}}{2}$

Etapa 4.6.2.4

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = - \frac{e^{2} - i e^{2} \sqrt{3}}{2}, - \frac{e^{2} + i e^{2} \sqrt{3}}{2}$

Etapa 4.7

A solução final são todos os valores que tornam $(x - e^{2}) (e^{4} + x^{2} + e^{2} x) = 0$ verdadeiro.

$x = e^{2}, - \frac{e^{2} - i e^{2} \sqrt{3}}{2}, - \frac{e^{2} + i e^{2} \sqrt{3}}{2}$