Trigonometria Exemplos

$4 y^{2} - 8 y - 25 x^{2} + 100 x = 196$

Etapa 1

Encontre a forma padrão da hipérbole.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Complete o quadrado de $4 y^{2} - 8 y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 4$

$b = - 8$

$c = 0$

Etapa 1.1.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 1.1.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 8}{2 \cdot 4}$

Etapa 1.1.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 8$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.2.1.1

Fatore $2$ de $- 8$ .

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 4}$

Etapa 1.1.3.2.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.2.1.2.1

Fatore $2$ de $2 \cdot 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 (4)}$

Etapa 1.1.3.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 4}$

Etapa 1.1.3.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{- 4}{4}$

Etapa 1.1.3.2.2

Cancele o fator comum de $- 4$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.2.2.1

Fatore $4$ de $- 4$ .

$d = \frac{4 \cdot - 1}{4}$

Etapa 1.1.3.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.2.2.2.1

Fatore $4$ de $4$ .

$d = \frac{4 \cdot - 1}{4 (1)}$

Etapa 1.1.3.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 1}$

Etapa 1.1.3.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{- 1}{1}$

Etapa 1.1.3.2.2.2.4

Divida $- 1$ por $1$ .

$d = - 1$

Etapa 1.1.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 8)}^{2}}{4 \cdot 4}$

Etapa 1.1.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.2.1.1

Eleve $- 8$ à potência de $2$ .

$e = 0 - \frac{64}{4 \cdot 4}$

Etapa 1.1.4.2.1.2

Multiplique $4$ por $4$ .

$e = 0 - \frac{64}{16}$

Etapa 1.1.4.2.1.3

Divida $64$ por $16$ .

$e = 0 - 1 \cdot 4$

Etapa 1.1.4.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$e = 0 - 4$

Etapa 1.1.4.2.2

Subtraia $4$ de $0$ .

$e = - 4$

Etapa 1.1.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice $4 {(y - 1)}^{2} - 4$ .

$4 {(y - 1)}^{2} - 4$

Etapa 1.2

Substitua $4 {(y - 1)}^{2} - 4$ por $4 y^{2} - 8 y$ na equação $4 y^{2} - 8 y - 25 x^{2} + 100 x = 196$ .

$4 {(y - 1)}^{2} - 4 - 25 x^{2} + 100 x = 196$

Etapa 1.3

Mova $- 4$ para o lado direito da equação, somando $4$ aos dois lados.

$4 {(y - 1)}^{2} - 25 x^{2} + 100 x = 196 + 4$

Etapa 1.4

Complete o quadrado de $- 25 x^{2} + 100 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = - 25$

$b = 100$

$c = 0$

Etapa 1.4.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 1.4.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{100}{2 \cdot - 25}$

Etapa 1.4.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.3.2.1

Cancele o fator comum de $100$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.3.2.1.1

Fatore $2$ de $100$ .

$d = \frac{2 \cdot 50}{2 \cdot - 25}$

Etapa 1.4.3.2.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.3.2.1.2.1

Fatore $2$ de $2 \cdot - 25$ .

$d = \frac{2 \cdot 50}{2 (- 25)}$

Etapa 1.4.3.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{2 \cdot 50}{2 \cdot - 25}$

Etapa 1.4.3.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{50}{- 25}$

Etapa 1.4.3.2.2

Cancele o fator comum de $50$ e $- 25$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.3.2.2.1

Fatore $25$ de $50$ .

$d = \frac{25 (2)}{- 25}$

Etapa 1.4.3.2.2.2

Mova o número negativo do denominador de $\frac{2}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 2$

Etapa 1.4.3.2.3

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$d = - 2$

Etapa 1.4.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{100^{2}}{4 \cdot - 25}$

Etapa 1.4.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.4.2.1.1

Eleve $100$ à potência de $2$ .

$e = 0 - \frac{10000}{4 \cdot - 25}$

Etapa 1.4.4.2.1.2

Multiplique $4$ por $- 25$ .

$e = 0 - \frac{10000}{- 100}$

Etapa 1.4.4.2.1.3

Divida $10000$ por $- 100$ .

$e = 0 - - 100$

Etapa 1.4.4.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $- 100$ .

$e = 0 + 100$

Etapa 1.4.4.2.2

Some $0$ e $100$ .

$e = 100$

Etapa 1.4.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice $- 25 {(x - 2)}^{2} + 100$ .

$- 25 {(x - 2)}^{2} + 100$

Etapa 1.5

Substitua $- 25 {(x - 2)}^{2} + 100$ por $- 25 x^{2} + 100 x$ na equação $4 y^{2} - 8 y - 25 x^{2} + 100 x = 196$ .

$4 {(y - 1)}^{2} - 25 {(x - 2)}^{2} + 100 = 196 + 4$

Etapa 1.6

Mova $100$ para o lado direito da equação, somando $100$ aos dois lados.

$4 {(y - 1)}^{2} - 25 {(x - 2)}^{2} = 196 + 4 - 100$

Etapa 1.7

Simplifique $196 + 4 - 100$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.1

Some $196$ e $4$ .

$4 {(y - 1)}^{2} - 25 {(x - 2)}^{2} = 200 - 100$

Etapa 1.7.2

Subtraia $100$ de $200$ .

$4 {(y - 1)}^{2} - 25 {(x - 2)}^{2} = 100$

Etapa 1.8

Divida cada termo por $100$ para que o lado direito seja igual a um.

$\frac{4 {(y - 1)}^{2}}{100} - \frac{25 {(x - 2)}^{2}}{100} = \frac{100}{100}$

Etapa 1.9

Simplifique cada termo na equação para definir o lado direito como igual a $1$ . A forma padrão de uma elipse ou hipérbole exige que o lado direito da equação seja $1$ .

$\frac{{(y - 1)}^{2}}{25} - \frac{{(x - 2)}^{2}}{4} = 1$

Etapa 2

Esta é a forma de uma hipérbole. Use-a para determinar os valores usados para encontrar as assíntotas da hipérbole.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Etapa 3

Associe os valores nesta hipérbole com os da forma padrão. A variável $h$ representa o deslocamento de x em relação à origem, $k$ representa o deslocamento de y em relação à origem, $a$ .

$a = 5$

$b = 2$

$k = 1$

$h = 2$

Etapa 4

As assíntotas seguem a forma $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ , porque esta hipérbole se abre para cima e para baixo.

$y = \pm \frac{5}{2} \cdot (x - (2)) + 1$

Etapa 5

Simplifique para encontrar a primeira assíntota.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Remova os parênteses.

$y = \frac{5}{2} \cdot (x - (2)) + 1$

Etapa 5.2

Simplifique $\frac{5}{2} \cdot (x - (2)) + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$y = \frac{5}{2} \cdot (x - 2) + 1$

Etapa 5.2.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{5}{2} x + \frac{5}{2} \cdot - 2 + 1$

Etapa 5.2.1.3

Combine $\frac{5}{2}$ e $x$ .

$y = \frac{5 x}{2} + \frac{5}{2} \cdot - 2 + 1$

Etapa 5.2.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.4.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$y = \frac{5 x}{2} + \frac{5}{2} \cdot (2 (- 1)) + 1$

Etapa 5.2.1.4.2

Cancele o fator comum.

$y = \frac{5 x}{2} + \frac{5}{2} \cdot (2 \cdot - 1) + 1$

Etapa 5.2.1.4.3

Reescreva a expressão.

$y = \frac{5 x}{2} + 5 \cdot - 1 + 1$

Etapa 5.2.1.5

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$y = \frac{5 x}{2} - 5 + 1$

Etapa 5.2.2

Some $- 5$ e $1$ .

$y = \frac{5 x}{2} - 4$

Etapa 6

Simplifique para encontrar a segunda assíntota.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Remova os parênteses.

$y = - \frac{5}{2} \cdot (x - (2)) + 1$

Etapa 6.2

Simplifique $- \frac{5}{2} \cdot (x - (2)) + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$y = - \frac{5}{2} \cdot (x - 2) + 1$

Etapa 6.2.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y = - \frac{5}{2} x - \frac{5}{2} \cdot - 2 + 1$

Etapa 6.2.1.3

Combine $x$ e $\frac{5}{2}$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{2} - \frac{5}{2} \cdot - 2 + 1$

Etapa 6.2.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.4.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{5}{2}$ para o numerador.

$y = - \frac{x \cdot 5}{2} + \frac{- 5}{2} \cdot - 2 + 1$

Etapa 6.2.1.4.2

Fatore $2$ de $- 2$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{2} + \frac{- 5}{2} \cdot (2 (- 1)) + 1$

Etapa 6.2.1.4.3

Cancele o fator comum.

$y = - \frac{x \cdot 5}{2} + \frac{- 5}{2} \cdot (2 \cdot - 1) + 1$

Etapa 6.2.1.4.4

Reescreva a expressão.

$y = - \frac{x \cdot 5}{2} - 5 \cdot - 1 + 1$

Etapa 6.2.1.5

Multiplique $- 5$ por $- 1$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{2} + 5 + 1$

Etapa 6.2.1.6

Mova $5$ para a esquerda de $x$ .

$y = - \frac{5 x}{2} + 5 + 1$

Etapa 6.2.2

Some $5$ e $1$ .

$y = - \frac{5 x}{2} + 6$

Etapa 7

Essa hipérbole tem duas assíntotas.

$y = \frac{5 x}{2} - 4, y = - \frac{5 x}{2} + 6$

Etapa 8

As assíntotas são $y = \frac{5 x}{2} - 4$ e $y = - \frac{5 x}{2} + 6$ .

Assíntotas: $y = \frac{5 x}{2} - 4, y = - \frac{5 x}{2} + 6$

Etapa 9