Trigonometria Exemplos

$\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{64} = 1$

Etapa 1

Simplifique cada termo na equação para definir o lado direito como igual a $1$ . A forma padrão de uma elipse ou hipérbole exige que o lado direito da equação seja $1$ .

$\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{64} = 1$

Etapa 2

Esta é a forma de uma elipse. Use-a para determinar os valores usados para encontrar o centro junto com os eixos maior e menor da elipse.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Etapa 3

Associe os valores nesta elipse com os da forma padrão. A variável $a$ representa o raio do eixo maior da elipse, $b$ representa o raio do eixo menor da elipse, $h$ representa o deslocamento de x em relação à origem e $k$ representa o deslocamento de y em relação à origem.

$a = 8$

$b = 3$

$k = 0$

$h = 0$

Etapa 4

O centro de uma elipse segue a forma de $(h, k)$ . Substitua os valores de $h$ e $k$ .

$(0, 0)$

Etapa 5

Encontre $c$ , a distância do centro até um foco.

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Etapa 5.1

Encontre a distância do centro até um foco da elipse usando a seguinte fórmula.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Etapa 5.2

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula.

$\sqrt{{(8)}^{2} - {(3)}^{2}}$

Etapa 5.3

Simplifique.

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Etapa 5.3.1

Eleve $8$ à potência de $2$ .

$\sqrt{64 - {(3)}^{2}}$

Etapa 5.3.2

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$\sqrt{64 - 1 \cdot 9}$

Etapa 5.3.3

Multiplique $- 1$ por $9$ .

$\sqrt{64 - 9}$

Etapa 5.3.4

Subtraia $9$ de $64$ .

$\sqrt{55}$

Etapa 6

Encontre os vértices.

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Etapa 6.1

O primeiro vértice de uma elipse pode ser encontrado ao somar $a$ com $k$ .

$(h, k + a)$

Etapa 6.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $a$ e $k$ na fórmula.

$(0, 0 + 8)$

Etapa 6.3

Simplifique.

$(0, 8)$

Etapa 6.4

O segundo vértice de uma elipse pode ser encontrado ao subtrair $a$ de $k$ .

$(h, k - a)$

Etapa 6.5

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $a$ e $k$ na fórmula.

$(0, 0 - (8))$

Etapa 6.6

Simplifique.

$(0, - 8)$

Etapa 6.7

As elipses têm dois vértices.

${Vertex}_{1}$ : $(0, 8)$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 8)$

${Vertex}_{1}$ : $(0, 8)$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 8)$

Etapa 7

Encontre o ponto imaginário.

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Etapa 7.1

O primeiro foco de uma elipse pode ser encontrado ao somar $c$ com $k$ .

$(h, k + c)$

Etapa 7.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $c$ e $k$ na fórmula.

$(0, 0 + \sqrt{55})$

Etapa 7.3

Simplifique.

$(0, \sqrt{55})$

Etapa 7.4

O primeiro foco de uma elipse pode ser encontrado ao subtrair $c$ de $k$ .

$(h, k - c)$

Etapa 7.5

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $c$ e $k$ na fórmula.

$(0, 0 - (\sqrt{55}))$

Etapa 7.6

Simplifique.

$(0, - \sqrt{55})$

Etapa 7.7

As elipses têm dois pontos imaginários.

${Focus}_{1}$ : $(0, \sqrt{55})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - \sqrt{55})$

${Focus}_{1}$ : $(0, \sqrt{55})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - \sqrt{55})$

Etapa 8

Encontre a excentricidade.

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Etapa 8.1

Encontre a excentricidade usando a seguinte fórmula.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Etapa 8.2

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula.

$\frac{\sqrt{{(8)}^{2} - {(3)}^{2}}}{8}$

Etapa 8.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.3.1

Eleve $8$ à potência de $2$ .

$\frac{\sqrt{64 - 3^{2}}}{8}$

Etapa 8.3.2

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$\frac{\sqrt{64 - 1 \cdot 9}}{8}$

Etapa 8.3.3

Multiplique $- 1$ por $9$ .

$\frac{\sqrt{64 - 9}}{8}$

Etapa 8.3.4

Subtraia $9$ de $64$ .

$\frac{\sqrt{55}}{8}$

Etapa 9

Esses valores representam os valores importantes para representar graficamente e analisar uma elipse.

Centro: $(0, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(0, 8)$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 8)$

${Focus}_{1}$ : $(0, \sqrt{55})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - \sqrt{55})$

Excentricidade: $\frac{\sqrt{55}}{8}$

Etapa 10