Trigonometria Exemplos

$4 \sin^{2} (x) = 2 \cos (x) + 1$

Etapa 1

Mova todas as expressões para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 1.1

Subtraia $2 \cos (x)$ dos dois lados da equação.

$4 \sin^{2} (x) - 2 \cos (x) = 1$

Etapa 1.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$4 \sin^{2} (x) - 2 \cos (x) - 1 = 0$

Etapa 2

Substitua $4 \sin^{2} (x)$ por $4 (1 - \cos^{2} (x))$ com base na identidade $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$4 (1 - \cos^{2} (x)) - 2 \cos (x) - 1 = 0$

Etapa 3

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$4 \cdot 1 + 4 (- \cos^{2} (x)) - 2 \cos (x) - 1 = 0$

Etapa 3.2

Multiplique $4$ por $1$ .

$4 + 4 (- \cos^{2} (x)) - 2 \cos (x) - 1 = 0$

Etapa 3.3

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$4 - 4 \cos^{2} (x) - 2 \cos (x) - 1 = 0$

Etapa 4

Subtraia $1$ de $4$ .

$- 4 \cos^{2} (x) - 2 \cos (x) + 3 = 0$

Etapa 5

Substitua $u$ por $\cos (x)$ .

$- 4 {(u)}^{2} - 2 u + 3 = 0$

Etapa 6

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 7

Substitua os valores $a = - 4$ , $b = - 2$ e $c = 3$ na fórmula quadrática e resolva $u$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (- 4 \cdot 3)}}{2 \cdot - 4}$

Etapa 8

Simplifique.

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Etapa 8.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 4 \cdot 3}}{2 \cdot - 4}$

Etapa 8.1.2

Multiplique $- 4 \cdot - 4 \cdot 3$ .

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Etapa 8.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $- 4$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16 \cdot 3}}{2 \cdot - 4}$

Etapa 8.1.2.2

Multiplique $16$ por $3$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 48}}{2 \cdot - 4}$

Etapa 8.1.3

Some $4$ e $48$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{52}}{2 \cdot - 4}$

Etapa 8.1.4

Reescreva $52$ como $2^{2} \cdot 13$ .

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Etapa 8.1.4.1

Fatore $4$ de $52$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 (13)}}{2 \cdot - 4}$

Etapa 8.1.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 13}}{2 \cdot - 4}$

Etapa 8.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$u = \frac{2 \pm 2 \sqrt{13}}{2 \cdot - 4}$

Etapa 8.2

Multiplique $2$ por $- 4$ .

$u = \frac{2 \pm 2 \sqrt{13}}{- 8}$

Etapa 8.3

Simplifique $\frac{2 \pm 2 \sqrt{13}}{- 8}$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{- 4}$

Etapa 8.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$u = - \frac{1 \pm \sqrt{13}}{4}$

Etapa 9

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$u = - \frac{1 + \sqrt{13}}{4}, - \frac{1 - \sqrt{13}}{4}$

Etapa 10

Substitua $\cos (x)$ por $u$ .

$\cos (x) = - \frac{1 + \sqrt{13}}{4}, - \frac{1 - \sqrt{13}}{4}$

Etapa 11

Estabeleça cada uma das soluções para resolver $x$ .

$\cos (x) = - \frac{1 + \sqrt{13}}{4}$

$\cos (x) = - \frac{1 - \sqrt{13}}{4}$

Etapa 12

Resolva $x$ em $\cos (x) = - \frac{1 + \sqrt{13}}{4}$ .

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Etapa 12.1

O intervalo do cosseno é $- 1 \leq y \leq 1$ . Como $- \frac{1 + \sqrt{13}}{4}$ não se enquadra nesse intervalo, não há solução.

Nenhuma solução

Etapa 13

Resolva $x$ em $\cos (x) = - \frac{1 - \sqrt{13}}{4}$ .

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Etapa 13.1

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$x = \arccos (- \frac{1 - \sqrt{13}}{4})$

Etapa 13.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 13.2.1

Avalie $\arccos (- \frac{1 - \sqrt{13}}{4})$ .

$x = 0.86138422$

Etapa 13.3

A função do cosseno é negativa no segundo e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no terceiro quadrante.

$x = 2 (3.14159265) - 0.86138422$

Etapa 13.4

Resolva $x$ .

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Etapa 13.4.1

Remova os parênteses.

$x = 2 (3.14159265) - 0.86138422$

Etapa 13.4.2

Simplifique $2 (3.14159265) - 0.86138422$ .

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Etapa 13.4.2.1

Multiplique $2$ por $3.14159265$ .

$x = 6.2831853 - 0.86138422$

Etapa 13.4.2.2

Subtraia $0.86138422$ de $6.2831853$ .

$x = 5.42180108$

Etapa 13.5

Encontre o período de $\cos (x)$ .

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Etapa 13.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 13.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 13.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 13.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 13.6

O período da função $\cos (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = 0.86138422 + 2 π n, 5.42180108 + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 14

Liste todas as soluções.

$x = 0.86138422 + 2 π n, 5.42180108 + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$