Trigonometria Exemplos

$\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{8})}{2}}$

Etapa 1

O valor exato de $\cos (\frac{7 π}{8})$ é $- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

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Etapa 1.1

Reescreva $\frac{7 π}{8}$ como um ângulo em que os valores das seis funções trigonométricas são conhecidos e divididos por $2$ .

$\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{\frac{7 π}{4}}{2})}{2}}$

Etapa 1.2

Aplique a fórmula do arco metade do cosseno $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{1 - (\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{7 π}{4})}{2}})}{2}}$

Etapa 1.3

Altere o $\pm$ para $-$ , porque o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$\sqrt{\frac{1 - - \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{7 π}{4})}{2}}}{2}}$

Etapa 1.4

Simplifique $- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{7 π}{4})}{2}}$ .

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Etapa 1.4.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$\sqrt{\frac{1 - - \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}}}{2}}$

Etapa 1.4.2

O valor exato de $\cos (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1 - - \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}}{2}}$

Etapa 1.4.3

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\sqrt{\frac{1 - - \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}}{2}}$

Etapa 1.4.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\sqrt{\frac{1 - - \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}}}{2}}$

Etapa 1.4.5

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\sqrt{\frac{1 - - \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}}{2}}$

Etapa 1.4.6

Multiplique $\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 1.4.6.1

Multiplique $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1 - - \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}}{2}}$

Etapa 1.4.6.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\sqrt{\frac{1 - - \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}}{2}}$

Etapa 1.4.7

Reescreva $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ como $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$\sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}}{2}}$

Etapa 1.4.8

Simplifique o denominador.

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Etapa 1.4.8.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}}}{2}}$

Etapa 1.4.8.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}}{2}}$

Etapa 2

Multiplique $- - \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

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Etapa 2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\sqrt{\frac{1 + 1 \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}}{2}}$

Etapa 2.2

Multiplique $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ por $1$ .

$\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}}{2}}$

Etapa 3

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}}{2}}$

Etapa 4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}}{2}}$

Etapa 5

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \cdot \frac{1}{2}}$

Etapa 6

Multiplique $\frac{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 6.1

Multiplique $\frac{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2 \cdot 2}}$

Etapa 6.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{4}}$

Etapa 7

Reescreva $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{4}}$ como $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}}}}{\sqrt{4}}$ .

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}}}}{\sqrt{4}}$

Etapa 8

Simplifique o denominador.

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Etapa 8.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}}}}{\sqrt{2^{2}}}$

Etapa 8.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}}}}{2}$

Etapa 9

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}}}}{2}$

Forma decimal:

$0.98078528 \dots$