Trigonometria Exemplos

$r^{2} = - 4 \cos (2 x)$

Etapa 1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$r = \pm \sqrt{- 4 \cos (2 x)}$

Etapa 2

Simplifique $\pm \sqrt{- 4 \cos (2 x)}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Reescreva $- 4 \cos (2 x)$ como $2^{2} \cdot (- 1 \cos (2 x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Fatore $4$ de $- 4$ .

$r = \pm \sqrt{4 (- 1) \cos (2 x)}$

Etapa 2.1.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$r = \pm \sqrt{2^{2} \cdot - 1 \cos (2 x)}$

Etapa 2.1.3

Adicione parênteses.

$r = \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 \cos (2 x))}$

Etapa 2.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$r = \pm 2 \sqrt{- 1 \cos (2 x)}$

Etapa 3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$r = 2 \sqrt{- 1 \cos (2 x)}$

Etapa 3.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$r = - 2 \sqrt{- 1 \cos (2 x)}$

Etapa 3.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$r = 2 \sqrt{- 1 \cos (2 x)}$

$r = - 2 \sqrt{- 1 \cos (2 x)}$

$r = 2 \sqrt{- 1 \cos (2 x)}$

$r = - 2 \sqrt{- 1 \cos (2 x)}$

Etapa 4

Defina o radicando em $\sqrt{- 1 \cos (2 x)}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$- 1 \cos (2 x) \geq 0$

Etapa 5

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Divida cada termo em $- 1 \cos (2 x) \geq 0$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Divida cada termo em $- 1 \cos (2 x) \geq 0$ por $- 1$ . Ao multiplicar ou dividir os dois lados de uma desigualdade por um valor negativo, inverta a direção do sinal de desigualdade.

$\frac{- 1 \cos (2 x)}{- 1} \leq \frac{0}{- 1}$

Etapa 5.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{\cos (2 x)}{1} \leq \frac{0}{- 1}$

Etapa 5.1.2.2

Divida $\cos (2 x)$ por $1$ .

$\cos (2 x) \leq \frac{0}{- 1}$

Etapa 5.1.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.3.1

Divida $0$ por $- 1$ .

$\cos (2 x) \leq 0$

Etapa 5.2

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$2 x \leq \arccos (0)$

Etapa 5.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

O valor exato de $\arccos (0)$ é $\frac{π}{2}$ .

$2 x \leq \frac{π}{2}$

Etapa 5.4

Divida cada termo em $2 x \leq \frac{π}{2}$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1

Divida cada termo em $2 x \leq \frac{π}{2}$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} \leq \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Etapa 5.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} \leq \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Etapa 5.4.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x \leq \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Etapa 5.4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$x \leq \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Etapa 5.4.3.2

Multiplique $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.2.1

Multiplique $\frac{π}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$x \leq \frac{π}{2 \cdot 2}$

Etapa 5.4.3.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$x \leq \frac{π}{4}$

Etapa 5.5

A função do cosseno é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$2 x = 2 π - \frac{π}{2}$

Etapa 5.6

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.1

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.1.1

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$2 x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 5.6.1.2

Combine $2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$2 x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 5.6.1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$2 x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Etapa 5.6.1.4

Multiplique $2$ por $2$ .

$2 x = \frac{4 π - π}{2}$

Etapa 5.6.1.5

Subtraia $π$ de $4 π$ .

$2 x = \frac{3 π}{2}$

Etapa 5.6.2

Divida cada termo em $2 x = \frac{3 π}{2}$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.2.1

Divida cada termo em $2 x = \frac{3 π}{2}$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Etapa 5.6.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Etapa 5.6.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Etapa 5.6.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.2.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Etapa 5.6.2.3.2

Multiplique $\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.2.3.2.1

Multiplique $\frac{3 π}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 2}$

Etapa 5.6.2.3.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Etapa 5.7

Encontre o período de $\cos (2 x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.7.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 5.7.2

Substitua $b$ por $2$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Etapa 5.7.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $2$ é $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Etapa 5.7.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.7.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 π}{2}$

Etapa 5.7.4.2

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 5.8

O período da função $\cos (2 x)$ é $π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 5.9

Consolide as respostas.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 5.10

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$\frac{π}{4} < x < \frac{3 π}{4}$

$\frac{3 π}{4} < x < \frac{5 π}{4}$

Etapa 5.11

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.11.1

Teste um valor no intervalo $\frac{π}{4} < x < \frac{3 π}{4}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.11.1.1

Escolha um valor no intervalo $\frac{π}{4} < x < \frac{3 π}{4}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 2$

Etapa 5.11.1.2

Substitua $x$ por $2$ na desigualdade original.

$- 1 \cos (2 (2)) \geq 0$

Etapa 5.11.1.3

O lado esquerdo $0.65364362$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 5.11.2

Teste um valor no intervalo $\frac{3 π}{4} < x < \frac{5 π}{4}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.11.2.1

Escolha um valor no intervalo $\frac{3 π}{4} < x < \frac{5 π}{4}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 3$

Etapa 5.11.2.2

Substitua $x$ por $3$ na desigualdade original.

$- 1 \cos (2 (3)) \geq 0$

Etapa 5.11.2.3

O lado esquerdo $- 0.96017028$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 5.11.3

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$\frac{π}{4} < x < \frac{3 π}{4}$ Verdadeiro

$\frac{3 π}{4} < x < \frac{5 π}{4}$ Falso

$\frac{π}{4} < x < \frac{3 π}{4}$ Verdadeiro

$\frac{3 π}{4} < x < \frac{5 π}{4}$ Falso

Etapa 5.12

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$\frac{π}{4} + π n \leq x \leq \frac{3 π}{4} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 6

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x = \frac{π}{4} + π n, x = \frac{3 π}{4} + π n}$

Etapa 7