Trigonometria Exemplos

$\sin (arcsec (\frac{\sqrt{u^{2} + 25}}{u}))$

Etapa 1

Desenhe um triângulo no plano com os vértices $(1, \sqrt{{(\frac{\sqrt{u^{2} + 25}}{u})}^{2} - 1^{2}})$ , $(1, 0)$ e a origem. Então, $arcsec (\frac{\sqrt{u^{2} + 25}}{u})$ será o ângulo entre o eixo x positivo e o raio que começa na origem e cruza $(1, \sqrt{{(\frac{\sqrt{u^{2} + 25}}{u})}^{2} - 1^{2}})$ . Portanto, $\sin (arcsec (\frac{\sqrt{u^{2} + 25}}{u}))$ é $\frac{\sqrt{{(\frac{\sqrt{u^{2} + 25}}{u})}^{2} - 1}}{\frac{\sqrt{u^{2} + 25}}{u}}$ .

$\frac{\sqrt{{(\frac{\sqrt{u^{2} + 25}}{u})}^{2} - 1}}{\frac{\sqrt{u^{2} + 25}}{u}}$

Etapa 2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\sqrt{{(\frac{\sqrt{u^{2} + 25}}{u})}^{2} - 1} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

Etapa 3

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\sqrt{{(\frac{\sqrt{u^{2} + 25}}{u})}^{2} - 1^{2}} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

Etapa 4

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = \frac{\sqrt{u^{2} + 25}}{u}$ e $b = 1$ .

$\sqrt{(\frac{\sqrt{u^{2} + 25}}{u} + 1) (\frac{\sqrt{u^{2} + 25}}{u} - 1)} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\sqrt{(\frac{\sqrt{u^{2} + 25}}{u} + \frac{u}{u}) (\frac{\sqrt{u^{2} + 25}}{u} - 1)} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

Etapa 5.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\sqrt{\frac{\sqrt{u^{2} + 25} + u}{u} (\frac{\sqrt{u^{2} + 25}}{u} - 1)} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

Etapa 5.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{u}{u}$ .

$\sqrt{\frac{\sqrt{u^{2} + 25} + u}{u} (\frac{\sqrt{u^{2} + 25}}{u} - 1 \cdot \frac{u}{u})} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

Etapa 5.4

Combine $- 1$ e $\frac{u}{u}$ .

$\sqrt{\frac{\sqrt{u^{2} + 25} + u}{u} (\frac{\sqrt{u^{2} + 25}}{u} + \frac{- u}{u})} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

Etapa 5.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\sqrt{\frac{\sqrt{u^{2} + 25} + u}{u} \cdot \frac{\sqrt{u^{2} + 25} - u}{u}} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

Etapa 6

Combine frações.

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Etapa 6.1

Multiplique $\frac{\sqrt{u^{2} + 25} + u}{u}$ por $\frac{\sqrt{u^{2} + 25} - u}{u}$ .

$\sqrt{\frac{(\sqrt{u^{2} + 25} + u) (\sqrt{u^{2} + 25} - u)}{u \cdot u}} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

Etapa 6.2

Multiplique $u$ por $u$ .

$\sqrt{\frac{(\sqrt{u^{2} + 25} + u) (\sqrt{u^{2} + 25} - u)}{u^{2}}} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

Etapa 7

Expanda $(\sqrt{u^{2} + 25} + u) (\sqrt{u^{2} + 25} - u)$ usando o método FOIL.

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Etapa 7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\sqrt{\frac{\sqrt{u^{2} + 25} (\sqrt{u^{2} + 25} - u) + u (\sqrt{u^{2} + 25} - u)}{u^{2}}} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

Etapa 7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\sqrt{\frac{\sqrt{u^{2} + 25} \sqrt{u^{2} + 25} + \sqrt{u^{2} + 25} (- u) + u (\sqrt{u^{2} + 25} - u)}{u^{2}}} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

Etapa 7.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\sqrt{\frac{\sqrt{u^{2} + 25} \sqrt{u^{2} + 25} + \sqrt{u^{2} + 25} (- u) + u \sqrt{u^{2} + 25} + u (- u)}{u^{2}}} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

Etapa 8

Simplifique os termos.

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Etapa 8.1

Combine os termos opostos em $\sqrt{u^{2} + 25} \sqrt{u^{2} + 25} + \sqrt{u^{2} + 25} (- u) + u \sqrt{u^{2} + 25} + u (- u)$ .

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Etapa 8.1.1

Reorganize os fatores nos termos $\sqrt{u^{2} + 25} (- u)$ e $u \sqrt{u^{2} + 25}$ .

$\sqrt{\frac{\sqrt{u^{2} + 25} \sqrt{u^{2} + 25} - u \sqrt{u^{2} + 25} + u \sqrt{u^{2} + 25} + u (- u)}{u^{2}}} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

Etapa 8.1.2

Some $- u \sqrt{u^{2} + 25}$ e $u \sqrt{u^{2} + 25}$ .

$\sqrt{\frac{\sqrt{u^{2} + 25} \sqrt{u^{2} + 25} + 0 + u (- u)}{u^{2}}} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

Etapa 8.1.3

Some $\sqrt{u^{2} + 25} \sqrt{u^{2} + 25}$ e $0$ .

$\sqrt{\frac{\sqrt{u^{2} + 25} \sqrt{u^{2} + 25} + u (- u)}{u^{2}}} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

Etapa 8.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.2.1

Multiplique $\sqrt{u^{2} + 25} \sqrt{u^{2} + 25}$ .

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Etapa 8.2.1.1

Eleve $\sqrt{u^{2} + 25}$ à potência de $1$ .

$\sqrt{\frac{{\sqrt{u^{2} + 25}}^{1} \sqrt{u^{2} + 25} + u (- u)}{u^{2}}} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

Etapa 8.2.1.2

Eleve $\sqrt{u^{2} + 25}$ à potência de $1$ .

$\sqrt{\frac{{\sqrt{u^{2} + 25}}^{1} {\sqrt{u^{2} + 25}}^{1} + u (- u)}{u^{2}}} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

Etapa 8.2.1.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\sqrt{\frac{{\sqrt{u^{2} + 25}}^{1 + 1} + u (- u)}{u^{2}}} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

Etapa 8.2.1.4

Some $1$ e $1$ .

$\sqrt{\frac{{\sqrt{u^{2} + 25}}^{2} + u (- u)}{u^{2}}} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

Etapa 8.2.2

Reescreva ${\sqrt{u^{2} + 25}}^{2}$ como $u^{2} + 25$ .

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Etapa 8.2.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u^{2} + 25}$ como ${(u^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{{({(u^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + u (- u)}{u^{2}}} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

Etapa 8.2.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{{(u^{2} + 25)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + u (- u)}{u^{2}}} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

Etapa 8.2.2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sqrt{\frac{{(u^{2} + 25)}^{\frac{2}{2}} + u (- u)}{u^{2}}} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

Etapa 8.2.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 8.2.2.4.1

Cancele o fator comum.

$\sqrt{\frac{{(u^{2} + 25)}^{\frac{2}{2}} + u (- u)}{u^{2}}} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

Etapa 8.2.2.4.2

Reescreva a expressão.

$\sqrt{\frac{{(u^{2} + 25)}^{1} + u (- u)}{u^{2}}} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

Etapa 8.2.2.5

Simplifique.

$\sqrt{\frac{u^{2} + 25 + u (- u)}{u^{2}}} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

Etapa 8.2.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\sqrt{\frac{u^{2} + 25 - u \cdot u}{u^{2}}} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

Etapa 8.2.4

Multiplique $u$ por $u$ somando os expoentes.

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Etapa 8.2.4.1

Mova $u$ .

$\sqrt{\frac{u^{2} + 25 - (u \cdot u)}{u^{2}}} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

Etapa 8.2.4.2

Multiplique $u$ por $u$ .

$\sqrt{\frac{u^{2} + 25 - u^{2}}{u^{2}}} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

Etapa 8.3

Simplifique somando os termos.

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Etapa 8.3.1

Combine os termos opostos em $u^{2} + 25 - u^{2}$ .

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Etapa 8.3.1.1

Subtraia $u^{2}$ de $u^{2}$ .

$\sqrt{\frac{0 + 25}{u^{2}}} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

Etapa 8.3.1.2

Some $0$ e $25$ .

$\sqrt{\frac{25}{u^{2}}} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

Etapa 8.3.2

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$\sqrt{\frac{5^{2}}{u^{2}}} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

Etapa 9

Reescreva $\frac{5^{2}}{u^{2}}$ como ${(\frac{5}{u})}^{2}$ .

$\sqrt{{(\frac{5}{u})}^{2}} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

Etapa 10

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{5}{u} \cdot \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

Etapa 11

Combine.

$\frac{5 u}{u \sqrt{u^{2} + 25}}$

Etapa 12

Cancele o fator comum de $u$ .

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Etapa 12.1

Cancele o fator comum.

$\frac{5 u}{u \sqrt{u^{2} + 25}}$

Etapa 12.2

Reescreva a expressão.

$\frac{5}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

Etapa 13

Multiplique $\frac{5}{\sqrt{u^{2} + 25}}$ por $\frac{\sqrt{u^{2} + 25}}{\sqrt{u^{2} + 25}}$ .

$\frac{5}{\sqrt{u^{2} + 25}} \cdot \frac{\sqrt{u^{2} + 25}}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

Etapa 14

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 14.1

Multiplique $\frac{5}{\sqrt{u^{2} + 25}}$ por $\frac{\sqrt{u^{2} + 25}}{\sqrt{u^{2} + 25}}$ .

$\frac{5 \sqrt{u^{2} + 25}}{\sqrt{u^{2} + 25} \sqrt{u^{2} + 25}}$

Etapa 14.2

Eleve $\sqrt{u^{2} + 25}$ à potência de $1$ .

$\frac{5 \sqrt{u^{2} + 25}}{{\sqrt{u^{2} + 25}}^{1} \sqrt{u^{2} + 25}}$

Etapa 14.3

Eleve $\sqrt{u^{2} + 25}$ à potência de $1$ .

$\frac{5 \sqrt{u^{2} + 25}}{{\sqrt{u^{2} + 25}}^{1} {\sqrt{u^{2} + 25}}^{1}}$

Etapa 14.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{5 \sqrt{u^{2} + 25}}{{\sqrt{u^{2} + 25}}^{1 + 1}}$

Etapa 14.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{5 \sqrt{u^{2} + 25}}{{\sqrt{u^{2} + 25}}^{2}}$

Etapa 14.6

Reescreva ${\sqrt{u^{2} + 25}}^{2}$ como $u^{2} + 25$ .

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Etapa 14.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u^{2} + 25}$ como ${(u^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{5 \sqrt{u^{2} + 25}}{{({(u^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 14.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5 \sqrt{u^{2} + 25}}{{(u^{2} + 25)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 14.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{5 \sqrt{u^{2} + 25}}{{(u^{2} + 25)}^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 14.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 14.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{5 \sqrt{u^{2} + 25}}{{(u^{2} + 25)}^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 14.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{5 \sqrt{u^{2} + 25}}{{(u^{2} + 25)}^{1}}$

Etapa 14.6.5

Simplifique.

$\frac{5 \sqrt{u^{2} + 25}}{u^{2} + 25}$