Trigonometria Exemplos

$\sin (\arccos (\frac{\sqrt{2}}{2}) + \arctan (\sqrt{3}))$

Etapa 1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1

O valor exato de $\arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$ é $\frac{π}{4}$ .

$\sin (\frac{π}{4} + \arctan (\sqrt{3}))$

Etapa 1.2

O valor exato de $\arctan (\sqrt{3})$ é $\frac{π}{3}$ .

$\sin (\frac{π}{4} + \frac{π}{3})$

Etapa 2

Para escrever $\frac{π}{4}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\sin (\frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3})$

Etapa 3

Para escrever $\frac{π}{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$\sin (\frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4})$

Etapa 4

Escreva cada expressão com um denominador comum de $12$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 4.1

Multiplique $\frac{π}{4}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\sin (\frac{π \cdot 3}{4 \cdot 3} + \frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4})$

Etapa 4.2

Multiplique $4$ por $3$ .

$\sin (\frac{π \cdot 3}{12} + \frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4})$

Etapa 4.3

Multiplique $\frac{π}{3}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\sin (\frac{π \cdot 3}{12} + \frac{π \cdot 4}{3 \cdot 4})$

Etapa 4.4

Multiplique $3$ por $4$ .

$\sin (\frac{π \cdot 3}{12} + \frac{π \cdot 4}{12})$

Etapa 5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\sin (\frac{π \cdot 3 + π \cdot 4}{12})$

Etapa 6

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.1

Mova $3$ para a esquerda de $π$ .

$\sin (\frac{3 \cdot π + π \cdot 4}{12})$

Etapa 6.2

Mova $4$ para a esquerda de $π$ .

$\sin (\frac{3 π + 4 \cdot π}{12})$

Etapa 6.3

Some $3 π$ e $4 π$ .

$\sin (\frac{7 π}{12})$

Etapa 7

O valor exato de $\sin (\frac{7 π}{12})$ é $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}$ .

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Etapa 7.1

Reescreva $\frac{7 π}{12}$ como um ângulo em que os valores das seis funções trigonométricas são conhecidos e divididos por $2$ .

$\sin (\frac{\frac{7 π}{6}}{2})$

Etapa 7.2

Aplique a fórmula do arco metade do seno.

$\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{6})}{2}}$

Etapa 7.3

Altere o $\pm$ para $+$ , porque o seno é positivo no segundo quadrante.

$\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{6})}{2}}$

Etapa 7.4

Simplifique $\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{6})}{2}}$ .

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Etapa 7.4.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no terceiro quadrante.

$\sqrt{\frac{1 - - \cos (\frac{π}{6})}{2}}$

Etapa 7.4.2

O valor exato de $\cos (\frac{π}{6})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}$

Etapa 7.4.3

Multiplique $- - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Etapa 7.4.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\sqrt{\frac{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}$

Etapa 7.4.3.2

Multiplique $\frac{\sqrt{3}}{2}$ por $1$ .

$\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}$

Etapa 7.4.4

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}$

Etapa 7.4.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{2}}$

Etapa 7.4.6

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}}$

Etapa 7.4.7

Multiplique $\frac{2 + \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 7.4.7.1

Multiplique $\frac{2 + \sqrt{3}}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{2 \cdot 2}}$

Etapa 7.4.7.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{4}}$

Etapa 7.4.8

Reescreva $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{4}}$ como $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{\sqrt{4}}$ .

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{\sqrt{4}}$

Etapa 7.4.9

Simplifique o denominador.

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Etapa 7.4.9.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{\sqrt{2^{2}}}$

Etapa 7.4.9.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}$

Etapa 8

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}$

Forma decimal:

$0.96592582 \dots$