Trigonometria Exemplos

$\sin (\arctan (\frac{x}{\sqrt{2}}))$

Etapa 1

Desenhe um triângulo no plano com os vértices $(1, \frac{x}{\sqrt{2}})$ , $(1, 0)$ e a origem. Então, $\arctan (\frac{x}{\sqrt{2}})$ será o ângulo entre o eixo x positivo e o raio que começa na origem e cruza $(1, \frac{x}{\sqrt{2}})$ . Portanto, $\sin (\arctan (\frac{x}{\sqrt{2}}))$ é $\frac{\frac{x}{\sqrt{2}}}{\sqrt{1 + {(\frac{x}{\sqrt{2}})}^{2}}}$ .

$\frac{\frac{x}{\sqrt{2}}}{\sqrt{1 + {(\frac{x}{\sqrt{2}})}^{2}}}$

Etapa 2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{x}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + {(\frac{x}{\sqrt{2}})}^{2}}}$

Etapa 3

Combine frações.

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Etapa 3.1

Combine.

$\frac{x \cdot 1}{\sqrt{2} \sqrt{1 + {(\frac{x}{\sqrt{2}})}^{2}}}$

Etapa 3.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{x}{\sqrt{2} \sqrt{1 + {(\frac{x}{\sqrt{2}})}^{2}}}$

Etapa 4

Simplifique o denominador.

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Etapa 4.1

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\frac{x}{\sqrt{2 (1 + {(\frac{x}{\sqrt{2}})}^{2})}}$

Etapa 4.2

Multiplique $\frac{x}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{x}{\sqrt{2 (1 + {(\frac{x}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})}^{2})}}$

Etapa 4.3

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 4.3.1

Multiplique $\frac{x}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{x}{\sqrt{2 (1 + {(\frac{x \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}})}^{2})}}$

Etapa 4.3.2

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$\frac{x}{\sqrt{2 (1 + {(\frac{x \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}})}^{2})}}$

Etapa 4.3.3

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$\frac{x}{\sqrt{2 (1 + {(\frac{x \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}})}^{2})}}$

Etapa 4.3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{x}{\sqrt{2 (1 + {(\frac{x \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}})}^{2})}}$

Etapa 4.3.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{x}{\sqrt{2 (1 + {(\frac{x \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}})}^{2})}}$

Etapa 4.3.6

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Etapa 4.3.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x}{\sqrt{2 (1 + {(\frac{x \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2})}}$

Etapa 4.3.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x}{\sqrt{2 (1 + {(\frac{x \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2})}}$

Etapa 4.3.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{x}{\sqrt{2 (1 + {(\frac{x \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2})}}$

Etapa 4.3.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.3.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x}{\sqrt{2 (1 + {(\frac{x \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2})}}$

Etapa 4.3.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{x}{\sqrt{2 (1 + {(\frac{x \sqrt{2}}{2^{1}})}^{2})}}$

Etapa 4.3.6.5

Avalie o expoente.

$\frac{x}{\sqrt{2 (1 + {(\frac{x \sqrt{2}}{2})}^{2})}}$

Etapa 4.4

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

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Etapa 4.4.1

Aplique a regra do produto a $\frac{x \sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{x}{\sqrt{2 (1 + \frac{{(x \sqrt{2})}^{2}}{2^{2}})}}$

Etapa 4.4.2

Aplique a regra do produto a $x \sqrt{2}$ .

$\frac{x}{\sqrt{2 (1 + \frac{x^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}})}}$

Etapa 4.5

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Etapa 4.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x}{\sqrt{2 (1 + \frac{x^{2} {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}})}}$

Etapa 4.5.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x}{\sqrt{2 (1 + \frac{x^{2} \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}})}}$

Etapa 4.5.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{x}{\sqrt{2 (1 + \frac{x^{2} \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}})}}$

Etapa 4.5.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.5.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x}{\sqrt{2 (1 + \frac{x^{2} \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}})}}$

Etapa 4.5.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{x}{\sqrt{2 (1 + \frac{x^{2} \cdot 2^{1}}{2^{2}})}}$

Etapa 4.5.5

Avalie o expoente.

$\frac{x}{\sqrt{2 (1 + \frac{x^{2} \cdot 2}{2^{2}})}}$

Etapa 4.6

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{x}{\sqrt{2 (1 + \frac{x^{2} \cdot 2}{4})}}$

Etapa 4.7

Cancele o fator comum de $2$ e $4$ .

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Etapa 4.7.1

Fatore $2$ de $x^{2} \cdot 2$ .

$\frac{x}{\sqrt{2 (1 + \frac{2 \cdot x^{2}}{4})}}$

Etapa 4.7.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.7.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{x}{\sqrt{2 (1 + \frac{2 \cdot x^{2}}{2 \cdot 2})}}$

Etapa 4.7.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{x}{\sqrt{2 (1 + \frac{2 \cdot x^{2}}{2 \cdot 2})}}$

Etapa 4.7.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{x}{\sqrt{2 (1 + \frac{x^{2}}{2})}}$

Etapa 4.8

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{x}{\sqrt{2 (\frac{2}{2} + \frac{x^{2}}{2})}}$

Etapa 4.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{x}{\sqrt{2 \frac{2 + x^{2}}{2}}}$

Etapa 5

Simplifique o denominador.

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Etapa 5.1

Combine $2$ e $\frac{2 + x^{2}}{2}$ .

$\frac{x}{\sqrt{\frac{2 (2 + x^{2})}{2}}}$

Etapa 5.2

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

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Etapa 5.2.1

Reduza a expressão $\frac{2 (2 + x^{2})}{2}$ cancelando os fatores comuns.

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Etapa 5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x}{\sqrt{\frac{2 (2 + x^{2})}{2}}}$

Etapa 5.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{x}{\sqrt{\frac{2 + x^{2}}{1}}}$

Etapa 5.2.2

Divida $2 + x^{2}$ por $1$ .

$\frac{x}{\sqrt{2 + x^{2}}}$

Etapa 6

Multiplique $\frac{x}{\sqrt{2 + x^{2}}}$ por $\frac{\sqrt{2 + x^{2}}}{\sqrt{2 + x^{2}}}$ .

$\frac{x}{\sqrt{2 + x^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{2 + x^{2}}}{\sqrt{2 + x^{2}}}$

Etapa 7

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 7.1

Multiplique $\frac{x}{\sqrt{2 + x^{2}}}$ por $\frac{\sqrt{2 + x^{2}}}{\sqrt{2 + x^{2}}}$ .

$\frac{x \sqrt{2 + x^{2}}}{\sqrt{2 + x^{2}} \sqrt{2 + x^{2}}}$

Etapa 7.2

Eleve $\sqrt{2 + x^{2}}$ à potência de $1$ .

$\frac{x \sqrt{2 + x^{2}}}{{\sqrt{2 + x^{2}}}^{1} \sqrt{2 + x^{2}}}$

Etapa 7.3

Eleve $\sqrt{2 + x^{2}}$ à potência de $1$ .

$\frac{x \sqrt{2 + x^{2}}}{{\sqrt{2 + x^{2}}}^{1} {\sqrt{2 + x^{2}}}^{1}}$

Etapa 7.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{x \sqrt{2 + x^{2}}}{{\sqrt{2 + x^{2}}}^{1 + 1}}$

Etapa 7.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{x \sqrt{2 + x^{2}}}{{\sqrt{2 + x^{2}}}^{2}}$

Etapa 7.6

Reescreva ${\sqrt{2 + x^{2}}}^{2}$ como $2 + x^{2}$ .

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Etapa 7.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2 + x^{2}}$ como ${(2 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x \sqrt{2 + x^{2}}}{{({(2 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 7.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x \sqrt{2 + x^{2}}}{{(2 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 7.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{x \sqrt{2 + x^{2}}}{{(2 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 7.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 7.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x \sqrt{2 + x^{2}}}{{(2 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 7.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{x \sqrt{2 + x^{2}}}{{(2 + x^{2})}^{1}}$

Etapa 7.6.5

Simplifique.

$\frac{x \sqrt{2 + x^{2}}}{2 + x^{2}}$