Trigonometria Exemplos

$\frac{x + 32}{x^{2} + 24 x + 128}$

Etapa 1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

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Etapa 1.1

Fatore $x^{2} + 24 x + 128$ usando o método AC.

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Etapa 1.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $128$ e cuja soma é $24$ .

$8, 16$

Etapa 1.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{x + 32}{(x + 8) (x + 16)}$

Etapa 1.2

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator no denominador é linear, coloque uma única variável em seu lugar $A$ .

$\frac{A}{x + 8}$

Etapa 1.3

$\frac{A}{x + 8} + \frac{B}{x + 16}$

Etapa 1.4

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é $(x + 8) (x + 16)$ .

$\frac{(x + 32) (x + 8) (x + 16)}{(x + 8) (x + 16)} = \frac{(A) (x + 8) (x + 16)}{x + 8} + \frac{(B) (x + 8) (x + 16)}{x + 16}$

Etapa 1.5

Cancele o fator comum de $x + 8$ .

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Etapa 1.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(x + 32) (x + 8) (x + 16)}{(x + 8) (x + 16)} = \frac{(A) (x + 8) (x + 16)}{x + 8} + \frac{(B) (x + 8) (x + 16)}{x + 16}$

Etapa 1.5.2

Reescreva a expressão.

$\frac{(x + 32) (x + 16)}{x + 16} = \frac{(A) (x + 8) (x + 16)}{x + 8} + \frac{(B) (x + 8) (x + 16)}{x + 16}$

Etapa 1.6

Cancele o fator comum de $x + 16$ .

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Etapa 1.6.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(x + 32) (x + 16)}{x + 16} = \frac{(A) (x + 8) (x + 16)}{x + 8} + \frac{(B) (x + 8) (x + 16)}{x + 16}$

Etapa 1.6.2

Divida $x + 32$ por $1$ .

$x + 32 = \frac{(A) (x + 8) (x + 16)}{x + 8} + \frac{(B) (x + 8) (x + 16)}{x + 16}$

Etapa 1.7

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.7.1

Cancele o fator comum de $x + 8$ .

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Etapa 1.7.1.1

Cancele o fator comum.

$x + 32 = \frac{A (x + 8) (x + 16)}{x + 8} + \frac{(B) (x + 8) (x + 16)}{x + 16}$

Etapa 1.7.1.2

Divida $(A) (x + 16)$ por $1$ .

$x + 32 = (A) (x + 16) + \frac{(B) (x + 8) (x + 16)}{x + 16}$

Etapa 1.7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x + 32 = A x + A \cdot 16 + \frac{(B) (x + 8) (x + 16)}{x + 16}$

Etapa 1.7.3

Mova $16$ para a esquerda de $A$ .

$x + 32 = A x + 16 \cdot A + \frac{(B) (x + 8) (x + 16)}{x + 16}$

Etapa 1.7.4

Cancele o fator comum de $x + 16$ .

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Etapa 1.7.4.1

Cancele o fator comum.

$x + 32 = A x + 16 A + \frac{(B) (x + 8) (x + 16)}{x + 16}$

Etapa 1.7.4.2

Divida $(B) (x + 8)$ por $1$ .

$x + 32 = A x + 16 A + (B) (x + 8)$

Etapa 1.7.5

Aplique a propriedade distributiva.

$x + 32 = A x + 16 A + B x + B \cdot 8$

Etapa 1.7.6

Mova $8$ para a esquerda de $B$ .

$x + 32 = A x + 16 A + B x + 8 B$

Etapa 1.8

Mova $16 A$ .

$x + 32 = A x + B x + 16 A + 8 B$

Etapa 2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

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Etapa 2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$1 = A + B$

Etapa 2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $x$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$32 = 16 A + 8 B$

Etapa 2.3

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$1 = A + B$

$32 = 16 A + 8 B$

$1 = A + B$

$32 = 16 A + 8 B$

Etapa 3

Resolva o sistema de equações.

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Etapa 3.1

Resolva $A$ em $1 = A + B$ .

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Etapa 3.1.1

Reescreva a equação como $A + B = 1$ .

$A + B = 1$

$32 = 16 A + 8 B$

Etapa 3.1.2

Subtraia $B$ dos dois lados da equação.

$A = 1 - B$

$32 = 16 A + 8 B$

$A = 1 - B$

$32 = 16 A + 8 B$

Etapa 3.2

Substitua todas as ocorrências de $A$ por $1 - B$ em cada equação.

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Etapa 3.2.1

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $32 = 16 A + 8 B$ por $1 - B$ .

$32 = 16 (1 - B) + 8 B$

$A = 1 - B$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.2.1

Simplifique $16 (1 - B) + 8 B$ .

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Etapa 3.2.2.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$32 = 16 \cdot 1 + 16 (- B) + 8 B$

$A = 1 - B$

Etapa 3.2.2.1.1.2

Multiplique $16$ por $1$ .

$32 = 16 + 16 (- B) + 8 B$

$A = 1 - B$

Etapa 3.2.2.1.1.3

Multiplique $- 1$ por $16$ .

$32 = 16 - 16 B + 8 B$

$A = 1 - B$

$32 = 16 - 16 B + 8 B$

$A = 1 - B$

Etapa 3.2.2.1.2

Some $- 16 B$ e $8 B$ .

$32 = 16 - 8 B$

$A = 1 - B$

$32 = 16 - 8 B$

$A = 1 - B$

$32 = 16 - 8 B$

$A = 1 - B$

$32 = 16 - 8 B$

$A = 1 - B$

Etapa 3.3

Resolva $B$ em $32 = 16 - 8 B$ .

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Etapa 3.3.1

Reescreva a equação como $16 - 8 B = 32$ .

$16 - 8 B = 32$

$A = 1 - B$

Etapa 3.3.2

Mova todos os termos que não contêm $B$ para o lado direito da equação.

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Etapa 3.3.2.1

Subtraia $16$ dos dois lados da equação.

$- 8 B = 32 - 16$

$A = 1 - B$

Etapa 3.3.2.2

Subtraia $16$ de $32$ .

$- 8 B = 16$

$A = 1 - B$

$- 8 B = 16$

$A = 1 - B$

Etapa 3.3.3

Divida cada termo em $- 8 B = 16$ por $- 8$ e simplifique.

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Etapa 3.3.3.1

Divida cada termo em $- 8 B = 16$ por $- 8$ .

$\frac{- 8 B}{- 8} = \frac{16}{- 8}$

$A = 1 - B$

Etapa 3.3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.3.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 8$ .

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Etapa 3.3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 8 B}{- 8} = \frac{16}{- 8}$

$A = 1 - B$

Etapa 3.3.3.2.1.2

Divida $B$ por $1$ .

$B = \frac{16}{- 8}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{16}{- 8}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{16}{- 8}$

$A = 1 - B$

Etapa 3.3.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.3.3.1

Divida $16$ por $- 8$ .

$B = - 2$

$A = 1 - B$

$B = - 2$

$A = 1 - B$

$B = - 2$

$A = 1 - B$

$B = - 2$

$A = 1 - B$

Etapa 3.4

Substitua todas as ocorrências de $B$ por $- 2$ em cada equação.

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Etapa 3.4.1

Substitua todas as ocorrências de $B$ em $A = 1 - B$ por $- 2$ .

$A = 1 - (- 2)$

$B = - 2$

Etapa 3.4.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.4.2.1

Simplifique $1 - (- 2)$ .

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Etapa 3.4.2.1.1

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$A = 1 + 2$

$B = - 2$

Etapa 3.4.2.1.2

Some $1$ e $2$ .

$A = 3$

$B = - 2$

$A = 3$

$B = - 2$

$A = 3$

$B = - 2$

$A = 3$

$B = - 2$

Etapa 3.5

Liste todas as soluções.

$A = 3, B = - 2$

Etapa 4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{x + 8} + \frac{B}{x + 16}$ pelos valores encontrados para $A$ e $B$ .

$\frac{3}{x + 8} + \frac{- 2}{x + 16}$