Trigonometria Exemplos

$f (x) = \sqrt{\frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)}}$

Etapa 1

Defina o radicando em $\sqrt{\frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)}}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$\frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)} \geq 0$

Etapa 2

Resolva $x$ .

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Etapa 2.1

Encontre todos os valores em que a expressão muda de negativo para positivo, definindo cada fator igual a $0$ . Depois, resolva.

$1 + \sin (x) = 0$

$1 - \sin (x) = 0$

Etapa 2.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$\sin (x) = - 1$

Etapa 2.3

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- \sin (x) = - 1$

Etapa 2.4

Divida cada termo em $- \sin (x) = - 1$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 2.4.1

Divida cada termo em $- \sin (x) = - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- \sin (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 2.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.4.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{\sin (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 2.4.2.2

Divida $\sin (x)$ por $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 2.4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.3.1

Divida $- 1$ por $- 1$ .

$\sin (x) = 1$

Etapa 2.5

Resolva cada fator para encontrar os valores em que a expressão de valor absoluto passa de negativa para positiva.

$\sin (x) = - 1$

$\sin (x) = 1$

Etapa 2.6

Consolide as soluções.

$\sin (x) = - 1, 1$

Etapa 2.7

Estabeleça cada uma das soluções para resolver $x$ .

$\sin (x) = - 1$

$\sin (x) = 1$

Etapa 2.8

Resolva $x$ em $\sin (x) = - 1$ .

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Etapa 2.8.1

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x = \arcsin (- 1)$

Etapa 2.8.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.2.1

O valor exato de $\arcsin (- 1)$ é $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Etapa 2.8.3

A função do seno é negativa no terceiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia a solução de $2 π$ para determinar um ângulo de referência. Depois, some esse ângulo de referência com $π$ para encontrar a solução no terceiro quadrante.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Etapa 2.8.4

Simplifique a expressão para encontrar a segunda solução.

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Etapa 2.8.4.1

Subtraia $2 π$ de $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Etapa 2.8.4.2

O ângulo resultante de $\frac{3 π}{2}$ é positivo, menor do que $2 π$ e coterminal com $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Etapa 2.8.5

Encontre o período de $\sin (x)$ .

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Etapa 2.8.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 2.8.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 2.8.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 2.8.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 2.8.6

Some $2 π$ com todos os ângulos negativos para obter os ângulos positivos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.6.1

Some $2 π$ com $- \frac{π}{2}$ para encontrar o ângulo positivo.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Etapa 2.8.6.2

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 2.8.6.3

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.6.3.1

Combine $2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 2.8.6.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Etapa 2.8.6.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.6.4.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Etapa 2.8.6.4.2

Subtraia $π$ de $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Etapa 2.8.6.5

Liste os novos ângulos.

$x = \frac{3 π}{2}$

Etapa 2.8.7

O período da função $\sin (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 2.9

Resolva $x$ em $\sin (x) = 1$ .

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Etapa 2.9.1

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x = \arcsin (1)$

Etapa 2.9.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.9.2.1

O valor exato de $\arcsin (1)$ é $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Etapa 2.9.3

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$x = π - \frac{π}{2}$

Etapa 2.9.4

Simplifique $π - \frac{π}{2}$ .

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Etapa 2.9.4.1

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 2.9.4.2

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.9.4.2.1

Combine $π$ e $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 2.9.4.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Etapa 2.9.4.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.9.4.3.1

Mova $2$ para a esquerda de $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Etapa 2.9.4.3.2

Subtraia $π$ de $2 π$ .

$x = \frac{π}{2}$

Etapa 2.9.5

Encontre o período de $\sin (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.9.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 2.9.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 2.9.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 2.9.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 2.9.6

O período da função $\sin (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 2.10

Liste todas as soluções.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{π}{2} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 2.11

Consolide as respostas.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 2.12

Encontre o domínio de $\frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)}$ .

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Etapa 2.12.1

Defina o denominador em $\frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$1 - \sin (x) = 0$

Etapa 2.12.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.12.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- \sin (x) = - 1$

Etapa 2.12.2.2

Divida cada termo em $- \sin (x) = - 1$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.12.2.2.1

Divida cada termo em $- \sin (x) = - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- \sin (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 2.12.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.12.2.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{\sin (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 2.12.2.2.2.2

Divida $\sin (x)$ por $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 2.12.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.12.2.2.3.1

Divida $- 1$ por $- 1$ .

$\sin (x) = 1$

Etapa 2.12.2.3

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x = \arcsin (1)$

Etapa 2.12.2.4

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.12.2.4.1

O valor exato de $\arcsin (1)$ é $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Etapa 2.12.2.5

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$x = π - \frac{π}{2}$

Etapa 2.12.2.6

Simplifique $π - \frac{π}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.12.2.6.1

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 2.12.2.6.2

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.12.2.6.2.1

Combine $π$ e $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 2.12.2.6.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Etapa 2.12.2.6.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.12.2.6.3.1

Mova $2$ para a esquerda de $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Etapa 2.12.2.6.3.2

Subtraia $π$ de $2 π$ .

$x = \frac{π}{2}$

Etapa 2.12.2.7

Encontre o período de $\sin (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.12.2.7.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 2.12.2.7.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 2.12.2.7.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 2.12.2.7.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 2.12.2.8

O período da função $\sin (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 2.12.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

${x | x \neq \frac{π}{2} + 2 π n}$ $n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 2.13

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$

$\frac{3 π}{2} < x < \frac{5 π}{2}$

Etapa 2.14

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.14.1

Teste um valor no intervalo $\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.14.1.1

Escolha um valor no intervalo $\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 3$

Etapa 2.14.1.2

Substitua $x$ por $3$ na desigualdade original.

$\frac{1 + \sin (3)}{1 - \sin (3)} \geq 0$

Etapa 2.14.1.3

O lado esquerdo $1.32861403$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 2.14.2

Teste um valor no intervalo $\frac{3 π}{2} < x < \frac{5 π}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.14.2.1

Escolha um valor no intervalo $\frac{3 π}{2} < x < \frac{5 π}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 6$

Etapa 2.14.2.2

Substitua $x$ por $6$ na desigualdade original.

$\frac{1 + \sin (6)}{1 - \sin (6)} \geq 0$

Etapa 2.14.2.3

O lado esquerdo $0.56321382$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 2.14.3

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$ Verdadeiro

$\frac{3 π}{2} < x < \frac{5 π}{2}$ Verdadeiro

$\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$ Verdadeiro

$\frac{3 π}{2} < x < \frac{5 π}{2}$ Verdadeiro

Etapa 2.15

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$\frac{π}{2} + 2 π n < x \leq \frac{3 π}{2} + 2 π n$ ou $\frac{3 π}{2} + 2 π n \leq x \leq \frac{5 π}{2} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 2.16

Combine os intervalos.

$N o (Min i m u m) \leq x \leq N o (Max i m u m)$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 3

Defina o denominador em $\frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$1 - \sin (x) = 0$

Etapa 4

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- \sin (x) = - 1$

Etapa 4.2

Divida cada termo em $- \sin (x) = - 1$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Divida cada termo em $- \sin (x) = - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- \sin (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{\sin (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 4.2.2.2

Divida $\sin (x)$ por $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 4.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.1

Divida $- 1$ por $- 1$ .

$\sin (x) = 1$

Etapa 4.3

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x = \arcsin (1)$

Etapa 4.4

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.1

O valor exato de $\arcsin (1)$ é $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Etapa 4.5

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$x = π - \frac{π}{2}$

Etapa 4.6

Simplifique $π - \frac{π}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.6.1

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 4.6.2

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.6.2.1

Combine $π$ e $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 4.6.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Etapa 4.6.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.6.3.1

Mova $2$ para a esquerda de $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Etapa 4.6.3.2

Subtraia $π$ de $2 π$ .

$x = \frac{π}{2}$

Etapa 4.7

Encontre o período de $\sin (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.7.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 4.7.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 4.7.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 4.7.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 4.8

O período da função $\sin (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 5

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \neq \frac{π}{2} + 2 π n}$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 6