Trigonometria Exemplos

$\cos (\frac{π}{12}) \cos (- \frac{π}{12}) + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{12})$

Etapa 1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1

O valor exato de $\cos (\frac{π}{12})$ é $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

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Etapa 1.1.1

Divida $\frac{π}{12}$ em dois ângulos em que os valores das seis funções trigonométricas sejam conhecidos.

$\cos (\frac{π}{4} - \frac{π}{6}) \cos (- \frac{π}{12}) + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{12})$

Etapa 1.1.2

Aplique a fórmula da diferença dos ângulos $\cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)$ .

$(\cos (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) \cos (- \frac{π}{12}) + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{12})$

Etapa 1.1.3

O valor exato de $\cos (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) \cos (- \frac{π}{12}) + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{12})$

Etapa 1.1.4

O valor exato de $\cos (\frac{π}{6})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) \cos (- \frac{π}{12}) + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{12})$

Etapa 1.1.5

O valor exato de $\sin (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{π}{6})) \cos (- \frac{π}{12}) + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{12})$

Etapa 1.1.6

O valor exato de $\sin (\frac{π}{6})$ é $\frac{1}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (- \frac{π}{12}) + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{12})$

Etapa 1.1.7

Simplifique $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 1.1.7.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.7.1.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Etapa 1.1.7.1.1.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (- \frac{π}{12}) + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{12})$

Etapa 1.1.7.1.1.2

Combine usando a regra do produto para radicais.

$(\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (- \frac{π}{12}) + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{12})$

Etapa 1.1.7.1.1.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$(\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (- \frac{π}{12}) + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{12})$

Etapa 1.1.7.1.1.4

Multiplique $2$ por $2$ .

$(\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (- \frac{π}{12}) + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{12})$

Etapa 1.1.7.1.2

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 1.1.7.1.2.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}) \cos (- \frac{π}{12}) + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{12})$

Etapa 1.1.7.1.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$(\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}) \cos (- \frac{π}{12}) + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{12})$

Etapa 1.1.7.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \cos (- \frac{π}{12}) + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{12})$

Etapa 1.2

Some as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \cos (\frac{23 π}{12}) + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{12})$

Etapa 1.3

O valor exato de $\cos (\frac{23 π}{12})$ é $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

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Etapa 1.3.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \cos (\frac{π}{12}) + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{12})$

Etapa 1.3.2

Divida $\frac{π}{12}$ em dois ângulos em que os valores das seis funções trigonométricas sejam conhecidos.

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \cos (\frac{π}{4} - \frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{12})$

Etapa 1.3.3

Aplique a fórmula da diferença dos ângulos $\cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)$ .

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} (\cos (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{12})$

Etapa 1.3.4

O valor exato de $\cos (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{12})$

Etapa 1.3.5

O valor exato de $\cos (\frac{π}{6})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{12})$

Etapa 1.3.6

O valor exato de $\sin (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{π}{6})) + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{12})$

Etapa 1.3.7

O valor exato de $\sin (\frac{π}{6})$ é $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{12})$

Etapa 1.3.8

Simplifique $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 1.3.8.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.3.8.1.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Etapa 1.3.8.1.1.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{12})$

Etapa 1.3.8.1.1.2

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{12})$

Etapa 1.3.8.1.1.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{12})$

Etapa 1.3.8.1.1.4

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{12})$

Etapa 1.3.8.1.2

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 1.3.8.1.2.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}) + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{12})$

Etapa 1.3.8.1.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}) + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{12})$

Etapa 1.3.8.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{12})$

Etapa 1.4

Multiplique $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

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Etapa 1.4.1

Multiplique $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ por $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

$\frac{(\sqrt{6} + \sqrt{2}) (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4 \cdot 4} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{12})$

Etapa 1.4.2

Eleve $\sqrt{6} + \sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$\frac{{(\sqrt{6} + \sqrt{2})}^{1} (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4 \cdot 4} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{12})$

Etapa 1.4.3

Eleve $\sqrt{6} + \sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$\frac{{(\sqrt{6} + \sqrt{2})}^{1} {(\sqrt{6} + \sqrt{2})}^{1}}{4 \cdot 4} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{12})$

Etapa 1.4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{{(\sqrt{6} + \sqrt{2})}^{1 + 1}}{4 \cdot 4} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{12})$

Etapa 1.4.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{{(\sqrt{6} + \sqrt{2})}^{2}}{4 \cdot 4} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{12})$

Etapa 1.4.6

Multiplique $4$ por $4$ .

$\frac{{(\sqrt{6} + \sqrt{2})}^{2}}{16} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{12})$

Etapa 1.5

Reescreva ${(\sqrt{6} + \sqrt{2})}^{2}$ como $(\sqrt{6} + \sqrt{2}) (\sqrt{6} + \sqrt{2})$ .

$\frac{(\sqrt{6} + \sqrt{2}) (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{16} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{12})$

Etapa 1.6

Expanda $(\sqrt{6} + \sqrt{2}) (\sqrt{6} + \sqrt{2})$ usando o método FOIL.

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Etapa 1.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\sqrt{6} (\sqrt{6} + \sqrt{2}) + \sqrt{2} (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{16} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{12})$

Etapa 1.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{2} (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{16} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{12})$

Etapa 1.6.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{16} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{12})$

Etapa 1.7

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 1.7.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.7.1.1

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\frac{\sqrt{6 \cdot 6} + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{16} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{12})$

Etapa 1.7.1.2

Multiplique $6$ por $6$ .

$\frac{\sqrt{36} + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{16} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{12})$

Etapa 1.7.1.3

Reescreva $36$ como $6^{2}$ .

$\frac{\sqrt{6^{2}} + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{16} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{12})$

Etapa 1.7.1.4

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{6 + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{16} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{12})$

Etapa 1.7.1.5

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\frac{6 + \sqrt{6 \cdot 2} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{16} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{12})$

Etapa 1.7.1.6

Multiplique $6$ por $2$ .

$\frac{6 + \sqrt{12} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{16} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{12})$

Etapa 1.7.1.7

Reescreva $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

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Etapa 1.7.1.7.1

Fatore $4$ de $12$ .

$\frac{6 + \sqrt{4 (3)} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{16} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{12})$

Etapa 1.7.1.7.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{6 + \sqrt{2^{2} \cdot 3} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{16} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{12})$

Etapa 1.7.1.8

Elimine os termos abaixo do radical.

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{16} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{12})$

Etapa 1.7.1.9

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{2 \cdot 6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{16} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{12})$

Etapa 1.7.1.10

Multiplique $2$ por $6$ .

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{12} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{16} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{12})$

Etapa 1.7.1.11

Reescreva $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

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Etapa 1.7.1.11.1

Fatore $4$ de $12$ .

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{4 (3)} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{16} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{12})$

Etapa 1.7.1.11.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{2^{2} \cdot 3} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{16} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{12})$

Etapa 1.7.1.12

Elimine os termos abaixo do radical.

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{16} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{12})$

Etapa 1.7.1.13

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{2 \cdot 2}}{16} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{12})$

Etapa 1.7.1.14

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{4}}{16} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{12})$

Etapa 1.7.1.15

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{2^{2}}}{16} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{12})$

Etapa 1.7.1.16

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 2}{16} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{12})$

Etapa 1.7.2

Some $6$ e $2$ .

$\frac{8 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3}}{16} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{12})$

Etapa 1.7.3

Some $2 \sqrt{3}$ e $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{8 + 4 \sqrt{3}}{16} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{12})$

Etapa 1.8

Cancele o fator comum de $8 + 4 \sqrt{3}$ e $16$ .

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Etapa 1.8.1

Fatore $4$ de $8$ .

$\frac{4 \cdot 2 + 4 \sqrt{3}}{16} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{12})$

Etapa 1.8.2

Fatore $4$ de $4 \sqrt{3}$ .

$\frac{4 \cdot 2 + 4 (\sqrt{3})}{16} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{12})$

Etapa 1.8.3

Fatore $4$ de $4 \cdot 2 + 4 (\sqrt{3})$ .

$\frac{4 \cdot (2 + \sqrt{3})}{16} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{12})$

Etapa 1.8.4

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.8.4.1

Fatore $4$ de $16$ .

$\frac{4 \cdot (2 + \sqrt{3})}{4 (4)} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{12})$

Etapa 1.8.4.2

Cancele o fator comum.

$\frac{4 \cdot (2 + \sqrt{3})}{4 \cdot 4} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{12})$

Etapa 1.8.4.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{12})$

Etapa 1.9

O valor exato de $\sin (\frac{π}{12})$ é $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

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Etapa 1.9.1

Divida $\frac{π}{12}$ em dois ângulos em que os valores das seis funções trigonométricas sejam conhecidos.

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} + \sin (\frac{π}{4} - \frac{π}{6}) \sin (- \frac{π}{12})$

Etapa 1.9.2

Aplique a fórmula da diferença dos ângulos.

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} + (\sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{6}) - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) \sin (- \frac{π}{12})$

Etapa 1.9.3

O valor exato de $\sin (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} + (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{6}) - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) \sin (- \frac{π}{12})$

Etapa 1.9.4

O valor exato de $\cos (\frac{π}{6})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} + (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) \sin (- \frac{π}{12})$

Etapa 1.9.5

O valor exato de $\cos (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} + (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{π}{6})) \sin (- \frac{π}{12})$

Etapa 1.9.6

O valor exato de $\sin (\frac{π}{6})$ é $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} + (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \sin (- \frac{π}{12})$

Etapa 1.9.7

Simplifique $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 1.9.7.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.9.7.1.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Etapa 1.9.7.1.1.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} + (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \sin (- \frac{π}{12})$

Etapa 1.9.7.1.1.2

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} + (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \sin (- \frac{π}{12})$

Etapa 1.9.7.1.1.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} + (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \sin (- \frac{π}{12})$

Etapa 1.9.7.1.1.4

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} + (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \sin (- \frac{π}{12})$

Etapa 1.9.7.1.2

Multiplique $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 1.9.7.1.2.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} + (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}) \sin (- \frac{π}{12})$

Etapa 1.9.7.1.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} + (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}) \sin (- \frac{π}{12})$

Etapa 1.9.7.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \sin (- \frac{π}{12})$

Etapa 1.10

Some as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \sin (\frac{23 π}{12})$

Etapa 1.11

O valor exato de $\sin (\frac{23 π}{12})$ é $- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

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Etapa 1.11.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o seno é negativo no quarto quadrante.

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (- \sin (\frac{π}{12}))$

Etapa 1.11.2

Divida $\frac{π}{12}$ em dois ângulos em que os valores das seis funções trigonométricas sejam conhecidos.

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (- \sin (\frac{π}{4} - \frac{π}{6}))$

Etapa 1.11.3

Aplique a fórmula da diferença dos ângulos.

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (- (\sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{6}) - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})))$

Etapa 1.11.4

O valor exato de $\sin (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (- (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{6}) - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})))$

Etapa 1.11.5

O valor exato de $\cos (\frac{π}{6})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (- (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})))$

Etapa 1.11.6

O valor exato de $\cos (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (- (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{π}{6})))$

Etapa 1.11.7

O valor exato de $\sin (\frac{π}{6})$ é $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (- (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}))$

Etapa 1.11.8

Simplifique $- (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$ .

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Etapa 1.11.8.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.11.8.1.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Etapa 1.11.8.1.1.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (- (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}))$

Etapa 1.11.8.1.1.2

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (- (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}))$

Etapa 1.11.8.1.1.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (- (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}))$

Etapa 1.11.8.1.1.4

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (- (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}))$

Etapa 1.11.8.1.2

Multiplique $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 1.11.8.1.2.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (- (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}))$

Etapa 1.11.8.1.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (- (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}))$

Etapa 1.11.8.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4})$

Etapa 1.12

Multiplique $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4})$ .

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Etapa 1.12.1

Multiplique $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ por $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2}) (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4 \cdot 4}$

Etapa 1.12.2

Eleve $\sqrt{6} - \sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{{(\sqrt{6} - \sqrt{2})}^{1} (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4 \cdot 4}$

Etapa 1.12.3

Eleve $\sqrt{6} - \sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{{(\sqrt{6} - \sqrt{2})}^{1} {(\sqrt{6} - \sqrt{2})}^{1}}{4 \cdot 4}$

Etapa 1.12.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{{(\sqrt{6} - \sqrt{2})}^{1 + 1}}{4 \cdot 4}$

Etapa 1.12.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{{(\sqrt{6} - \sqrt{2})}^{2}}{4 \cdot 4}$

Etapa 1.12.6

Multiplique $4$ por $4$ .

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{{(\sqrt{6} - \sqrt{2})}^{2}}{16}$

Etapa 1.13

Reescreva ${(\sqrt{6} - \sqrt{2})}^{2}$ como $(\sqrt{6} - \sqrt{2}) (\sqrt{6} - \sqrt{2})$ .

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2}) (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{16}$

Etapa 1.14

Expanda $(\sqrt{6} - \sqrt{2}) (\sqrt{6} - \sqrt{2})$ usando o método FOIL.

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Etapa 1.14.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{6} (\sqrt{6} - \sqrt{2}) - \sqrt{2} (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{16}$

Etapa 1.14.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{16}$

Etapa 1.14.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Etapa 1.15

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 1.15.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.15.1.1

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{6 \cdot 6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Etapa 1.15.1.2

Multiplique $6$ por $6$ .

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{36} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Etapa 1.15.1.3

Reescreva $36$ como $6^{2}$ .

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{6^{2}} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Etapa 1.15.1.4

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{6 + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Etapa 1.15.1.5

Multiplique $\sqrt{6} (- \sqrt{2})$ .

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Etapa 1.15.1.5.1

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{6 - \sqrt{6 \cdot 2} - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Etapa 1.15.1.5.2

Multiplique $6$ por $2$ .

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{6 - \sqrt{12} - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Etapa 1.15.1.6

Reescreva $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

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Etapa 1.15.1.6.1

Fatore $4$ de $12$ .

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{6 - \sqrt{4 (3)} - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Etapa 1.15.1.6.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{6 - \sqrt{2^{2} \cdot 3} - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Etapa 1.15.1.7

Elimine os termos abaixo do radical.

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{6 - (2 \sqrt{3}) - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Etapa 1.15.1.8

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{6 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Etapa 1.15.1.9

Multiplique $- \sqrt{2} \sqrt{6}$ .

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Etapa 1.15.1.9.1

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{6 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{6 \cdot 2} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Etapa 1.15.1.9.2

Multiplique $6$ por $2$ .

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{6 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{12} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Etapa 1.15.1.10

Reescreva $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

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Etapa 1.15.1.10.1

Fatore $4$ de $12$ .

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{6 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{4 (3)} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Etapa 1.15.1.10.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{6 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{2^{2} \cdot 3} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Etapa 1.15.1.11

Elimine os termos abaixo do radical.

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{6 - 2 \sqrt{3} - (2 \sqrt{3}) - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Etapa 1.15.1.12

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Etapa 1.15.1.13

Multiplique $- \sqrt{2} (- \sqrt{2})$ .

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Etapa 1.15.1.13.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 1 \sqrt{2} \sqrt{2}}{16}$

Etapa 1.15.1.13.2

Multiplique $\sqrt{2}$ por $1$ .

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{16}$

Etapa 1.15.1.13.3

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}{16}$

Etapa 1.15.1.13.4

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}{16}$

Etapa 1.15.1.13.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{16}$

Etapa 1.15.1.13.6

Some $1$ e $1$ .

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {\sqrt{2}}^{2}}{16}$

Etapa 1.15.1.14

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Etapa 1.15.1.14.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{16}$

Etapa 1.15.1.14.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{16}$

Etapa 1.15.1.14.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 2^{\frac{2}{2}}}{16}$

Etapa 1.15.1.14.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.15.1.14.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 2^{\frac{2}{2}}}{16}$

Etapa 1.15.1.14.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 2^{1}}{16}$

Etapa 1.15.1.14.5

Avalie o expoente.

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 2}{16}$

Etapa 1.15.2

Some $6$ e $2$ .

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{8 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3}}{16}$

Etapa 1.15.3

Subtraia $2 \sqrt{3}$ de $- 2 \sqrt{3}$ .

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{8 - 4 \sqrt{3}}{16}$

Etapa 1.16

Cancele o fator comum de $8 - 4 \sqrt{3}$ e $16$ .

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Etapa 1.16.1

Fatore $4$ de $8$ .

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{4 (2) - 4 \sqrt{3}}{16}$

Etapa 1.16.2

Fatore $4$ de $- 4 \sqrt{3}$ .

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{4 (2) + 4 (- \sqrt{3})}{16}$

Etapa 1.16.3

Fatore $4$ de $4 (2) + 4 (- \sqrt{3})$ .

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{4 (2 - \sqrt{3})}{16}$

Etapa 1.16.4

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.16.4.1

Fatore $4$ de $16$ .

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{4 (2 - \sqrt{3})}{4 \cdot 4}$

Etapa 1.16.4.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{4 (2 - \sqrt{3})}{4 \cdot 4}$

Etapa 1.16.4.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{2 - \sqrt{3}}{4}$

Etapa 2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 + \sqrt{3} - (2 - \sqrt{3})}{4}$

Etapa 3

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 + \sqrt{3} - 1 \cdot 2 - - \sqrt{3}}{4}$

Etapa 3.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{2 + \sqrt{3} - 2 - - \sqrt{3}}{4}$

Etapa 3.3

Multiplique $- - \sqrt{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{2 + \sqrt{3} - 2 + 1 \sqrt{3}}{4}$

Etapa 3.3.2

Multiplique $\sqrt{3}$ por $1$ .

$\frac{2 + \sqrt{3} - 2 + \sqrt{3}}{4}$

Etapa 4

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Subtraia $2$ de $2$ .

$\frac{0 + \sqrt{3} + \sqrt{3}}{4}$

Etapa 4.2

Some $0$ e $\sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{3} + \sqrt{3}}{4}$

Etapa 4.3

Some $\sqrt{3}$ e $\sqrt{3}$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{4}$

Etapa 4.4

Cancele o fator comum de $2$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.1

Fatore $2$ de $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{2 (\sqrt{3})}{4}$

Etapa 4.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

Etapa 4.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

Etapa 4.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 5

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

Forma decimal:

$0.86602540 \dots$