Trigonometria Exemplos

$\cos (\frac{5 π}{12}) \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{6})$

Etapa 1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1

O valor exato de $\cos (\frac{5 π}{12})$ é $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

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Etapa 1.1.1

Divida $\frac{5 π}{12}$ em dois ângulos em que os valores das seis funções trigonométricas sejam conhecidos.

$\cos (\frac{π}{6} + \frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{6})$

Etapa 1.1.2

Aplique a fórmula da soma dos ângulos $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ .

$(\cos (\frac{π}{6}) \cos (\frac{π}{4}) - \sin (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4})) \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{6})$

Etapa 1.1.3

O valor exato de $\cos (\frac{π}{6})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{3}}{2} \cos (\frac{π}{4}) - \sin (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4})) \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{6})$

Etapa 1.1.4

O valor exato de $\cos (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \sin (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4})) \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{6})$

Etapa 1.1.5

O valor exato de $\sin (\frac{π}{6})$ é $\frac{1}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \sin (\frac{π}{4})) \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{6})$

Etapa 1.1.6

O valor exato de $\sin (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{6})$

Etapa 1.1.7

Simplifique $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Etapa 1.1.7.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.7.1.1

Multiplique $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Etapa 1.1.7.1.1.1

Multiplique $\frac{\sqrt{3}}{2}$ por $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{6})$

Etapa 1.1.7.1.1.2

Combine usando a regra do produto para radicais.

$(\frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{6})$

Etapa 1.1.7.1.1.3

Multiplique $3$ por $2$ .

$(\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{6})$

Etapa 1.1.7.1.1.4

Multiplique $2$ por $2$ .

$(\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{6})$

Etapa 1.1.7.1.2

Multiplique $- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Etapa 1.1.7.1.2.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}) \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{6})$

Etapa 1.1.7.1.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$(\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}) \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{6})$

Etapa 1.1.7.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{6})$

Etapa 1.2

O valor exato de $\cos (\frac{π}{6})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{6})$

Etapa 1.3

Multiplique $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Etapa 1.3.1

Multiplique $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ por $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2}) \sqrt{3}}{4 \cdot 2} + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{6})$

Etapa 1.3.2

Multiplique $4$ por $2$ .

$\frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2}) \sqrt{3}}{8} + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{6})$

Etapa 1.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\sqrt{6} \sqrt{3} - \sqrt{2} \sqrt{3}}{8} + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{6})$

Etapa 1.5

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\frac{\sqrt{6 \cdot 3} - \sqrt{2} \sqrt{3}}{8} + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{6})$

Etapa 1.6

Multiplique $- \sqrt{2} \sqrt{3}$ .

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Etapa 1.6.1

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\frac{\sqrt{6 \cdot 3} - \sqrt{3 \cdot 2}}{8} + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{6})$

Etapa 1.6.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{\sqrt{6 \cdot 3} - \sqrt{6}}{8} + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{6})$

Etapa 1.7

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.7.1

Multiplique $6$ por $3$ .

$\frac{\sqrt{18} - \sqrt{6}}{8} + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{6})$

Etapa 1.7.2

Reescreva $18$ como $3^{2} \cdot 2$ .

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Etapa 1.7.2.1

Fatore $9$ de $18$ .

$\frac{\sqrt{9 (2)} - \sqrt{6}}{8} + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{6})$

Etapa 1.7.2.2

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3^{2} \cdot 2} - \sqrt{6}}{8} + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{6})$

Etapa 1.7.3

Elimine os termos abaixo do radical.

$\frac{3 \sqrt{2} - \sqrt{6}}{8} + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{6})$

Etapa 1.8

O valor exato de $\sin (\frac{5 π}{12})$ é $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ .

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Etapa 1.8.1

Divida $\frac{5 π}{12}$ em dois ângulos em que os valores das seis funções trigonométricas sejam conhecidos.

$\frac{3 \sqrt{2} - \sqrt{6}}{8} + \sin (\frac{π}{6} + \frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})$

Etapa 1.8.2

Aplique a fórmula da soma dos ângulos.

$\frac{3 \sqrt{2} - \sqrt{6}}{8} + (\sin (\frac{π}{6}) \cos (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4})) \sin (\frac{π}{6})$

Etapa 1.8.3

O valor exato de $\sin (\frac{π}{6})$ é $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2} - \sqrt{6}}{8} + (\frac{1}{2} \cos (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4})) \sin (\frac{π}{6})$

Etapa 1.8.4

O valor exato de $\cos (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2} - \sqrt{6}}{8} + (\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4})) \sin (\frac{π}{6})$

Etapa 1.8.5

O valor exato de $\cos (\frac{π}{6})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2} - \sqrt{6}}{8} + (\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin (\frac{π}{4})) \sin (\frac{π}{6})$

Etapa 1.8.6

O valor exato de $\sin (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2} - \sqrt{6}}{8} + (\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \sin (\frac{π}{6})$

Etapa 1.8.7

Simplifique $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Etapa 1.8.7.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.8.7.1.1

Multiplique $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Etapa 1.8.7.1.1.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2} - \sqrt{6}}{8} + (\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \sin (\frac{π}{6})$

Etapa 1.8.7.1.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{3 \sqrt{2} - \sqrt{6}}{8} + (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \sin (\frac{π}{6})$

Etapa 1.8.7.1.2

Multiplique $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Etapa 1.8.7.1.2.1

Multiplique $\frac{\sqrt{3}}{2}$ por $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2} - \sqrt{6}}{8} + (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}) \sin (\frac{π}{6})$

Etapa 1.8.7.1.2.2

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\frac{3 \sqrt{2} - \sqrt{6}}{8} + (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2}) \sin (\frac{π}{6})$

Etapa 1.8.7.1.2.3

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{3 \sqrt{2} - \sqrt{6}}{8} + (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2}) \sin (\frac{π}{6})$

Etapa 1.8.7.1.2.4

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{3 \sqrt{2} - \sqrt{6}}{8} + (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4}) \sin (\frac{π}{6})$

Etapa 1.8.7.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{3 \sqrt{2} - \sqrt{6}}{8} + \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \sin (\frac{π}{6})$

Etapa 1.9

O valor exato de $\sin (\frac{π}{6})$ é $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2} - \sqrt{6}}{8} + \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \cdot \frac{1}{2}$

Etapa 1.10

Multiplique $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 1.10.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2} - \sqrt{6}}{8} + \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4 \cdot 2}$

Etapa 1.10.2

Multiplique $4$ por $2$ .

$\frac{3 \sqrt{2} - \sqrt{6}}{8} + \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{8}$

Etapa 2

Simplifique os termos.

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Etapa 2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{3 \sqrt{2} - \sqrt{6} + \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8}$

Etapa 2.2

Some $3 \sqrt{2}$ e $\sqrt{2}$ .

$\frac{4 \sqrt{2} - \sqrt{6} + \sqrt{6}}{8}$

Etapa 2.3

Some $- \sqrt{6}$ e $\sqrt{6}$ .

$\frac{4 \sqrt{2} + 0}{8}$

Etapa 2.4

Some $4 \sqrt{2}$ e $0$ .

$\frac{4 \sqrt{2}}{8}$

Etapa 2.5

Cancele o fator comum de $4$ e $8$ .

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Etapa 2.5.1

Fatore $4$ de $4 \sqrt{2}$ .

$\frac{4 (\sqrt{2})}{8}$

Etapa 2.5.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.5.2.1

Fatore $4$ de $8$ .

$\frac{4 \sqrt{2}}{4 \cdot 2}$

Etapa 2.5.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{4 \sqrt{2}}{4 \cdot 2}$

Etapa 2.5.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 3

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Forma decimal:

$0.70710678 \dots$