Trigonometria Exemplos

$\cos (\frac{3 π}{8}) + \cos (\frac{π}{8})$

Etapa 1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1

O valor exato de $\cos (\frac{3 π}{8})$ é $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

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Etapa 1.1.1

Reescreva $\frac{3 π}{8}$ como um ângulo em que os valores das seis funções trigonométricas são conhecidos e divididos por $2$ .

$\cos (\frac{\frac{3 π}{4}}{2}) + \cos (\frac{π}{8})$

Etapa 1.1.2

Aplique a fórmula do arco metade do cosseno $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

$\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{3 π}{4})}{2}} + \cos (\frac{π}{8})$

Etapa 1.1.3

Altere o $\pm$ para $+$ , porque o cosseno é positivo no primeiro quadrante.

$\sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{3 π}{4})}{2}} + \cos (\frac{π}{8})$

Etapa 1.1.4

Simplifique $\sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{3 π}{4})}{2}}$ .

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Etapa 1.1.4.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}} + \cos (\frac{π}{8})$

Etapa 1.1.4.2

O valor exato de $\cos (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} + \cos (\frac{π}{8})$

Etapa 1.1.4.3

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} + \cos (\frac{π}{8})$

Etapa 1.1.4.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}} + \cos (\frac{π}{8})$

Etapa 1.1.4.5

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}} + \cos (\frac{π}{8})$

Etapa 1.1.4.6

Multiplique $\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 1.1.4.6.1

Multiplique $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2 \cdot 2}} + \cos (\frac{π}{8})$

Etapa 1.1.4.6.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}} + \cos (\frac{π}{8})$

Etapa 1.1.4.7

Reescreva $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$ como $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}} + \cos (\frac{π}{8})$

Etapa 1.1.4.8

Simplifique o denominador.

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Etapa 1.1.4.8.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}} + \cos (\frac{π}{8})$

Etapa 1.1.4.8.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + \cos (\frac{π}{8})$

Etapa 1.2

O valor exato de $\cos (\frac{π}{8})$ é $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

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Etapa 1.2.1

Reescreva $\frac{π}{8}$ como um ângulo em que os valores das seis funções trigonométricas são conhecidos e divididos por $2$ .

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + \cos (\frac{\frac{π}{4}}{2})$

Etapa 1.2.2

Aplique a fórmula do arco metade do cosseno $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}}$

Etapa 1.2.3

Altere o $\pm$ para $+$ , porque o cosseno é positivo no primeiro quadrante.

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}}$

Etapa 1.2.4

O valor exato de $\cos (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

Etapa 1.2.5

Simplifique $\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$ .

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Etapa 1.2.5.1

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

Etapa 1.2.5.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}}$

Etapa 1.2.5.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}$

Etapa 1.2.5.4

Multiplique $\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 1.2.5.4.1

Multiplique $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}$

Etapa 1.2.5.4.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$

Etapa 1.2.5.5

Reescreva $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ como $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$

Etapa 1.2.5.6

Simplifique o denominador.

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Etapa 1.2.5.6.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}}$

Etapa 1.2.5.6.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

Etapa 2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}} + \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

Etapa 3

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}} + \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

Forma decimal:

$1.30656296 \dots$