Trigonometria Exemplos

$\cos (15) \cos (30) - \sin (15) \sin (30)$

Etapa 1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

O valor exato de $\cos (15)$ é $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Divida $15$ em dois ângulos em que os valores das seis funções trigonométricas sejam conhecidos.

$\cos (45 - 30) \cos (30) - \sin (15) \sin (30)$

Etapa 1.1.2

Separar negativação.

$\cos (45 - (30)) \cos (30) - \sin (15) \sin (30)$

Etapa 1.1.3

Aplique a fórmula da diferença dos ângulos $\cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)$ .

$(\cos (45) \cos (30) + \sin (45) \sin (30)) \cos (30) - \sin (15) \sin (30)$

Etapa 1.1.4

O valor exato de $\cos (45)$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (30) + \sin (45) \sin (30)) \cos (30) - \sin (15) \sin (30)$

Etapa 1.1.5

O valor exato de $\cos (30)$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin (45) \sin (30)) \cos (30) - \sin (15) \sin (30)$

Etapa 1.1.6

O valor exato de $\sin (45)$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (30)) \cos (30) - \sin (15) \sin (30)$

Etapa 1.1.7

O valor exato de $\sin (30)$ é $\frac{1}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (30) - \sin (15) \sin (30)$

Etapa 1.1.8

Simplifique $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 1.1.8.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.8.1.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.8.1.1.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (30) - \sin (15) \sin (30)$

Etapa 1.1.8.1.1.2

Combine usando a regra do produto para radicais.

$(\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (30) - \sin (15) \sin (30)$

Etapa 1.1.8.1.1.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$(\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (30) - \sin (15) \sin (30)$

Etapa 1.1.8.1.1.4

Multiplique $2$ por $2$ .

$(\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (30) - \sin (15) \sin (30)$

Etapa 1.1.8.1.2

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.8.1.2.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}) \cos (30) - \sin (15) \sin (30)$

Etapa 1.1.8.1.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$(\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}) \cos (30) - \sin (15) \sin (30)$

Etapa 1.1.8.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \cos (30) - \sin (15) \sin (30)$

Etapa 1.2

O valor exato de $\cos (30)$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \sin (15) \sin (30)$

Etapa 1.3

Multiplique $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Etapa 1.3.1

Multiplique $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ por $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{(\sqrt{6} + \sqrt{2}) \sqrt{3}}{4 \cdot 2} - \sin (15) \sin (30)$

Etapa 1.3.2

Multiplique $4$ por $2$ .

$\frac{(\sqrt{6} + \sqrt{2}) \sqrt{3}}{8} - \sin (15) \sin (30)$

Etapa 1.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\sqrt{6} \sqrt{3} + \sqrt{2} \sqrt{3}}{8} - \sin (15) \sin (30)$

Etapa 1.5

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\frac{\sqrt{6 \cdot 3} + \sqrt{2} \sqrt{3}}{8} - \sin (15) \sin (30)$

Etapa 1.6

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\frac{\sqrt{6 \cdot 3} + \sqrt{2 \cdot 3}}{8} - \sin (15) \sin (30)$

Etapa 1.7

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.1

Multiplique $6$ por $3$ .

$\frac{\sqrt{18} + \sqrt{2 \cdot 3}}{8} - \sin (15) \sin (30)$

Etapa 1.7.2

Reescreva $18$ como $3^{2} \cdot 2$ .

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Etapa 1.7.2.1

Fatore $9$ de $18$ .

$\frac{\sqrt{9 (2)} + \sqrt{2 \cdot 3}}{8} - \sin (15) \sin (30)$

Etapa 1.7.2.2

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3^{2} \cdot 2} + \sqrt{2 \cdot 3}}{8} - \sin (15) \sin (30)$

Etapa 1.7.3

Elimine os termos abaixo do radical.

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{2 \cdot 3}}{8} - \sin (15) \sin (30)$

Etapa 1.7.4

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} - \sin (15) \sin (30)$

Etapa 1.8

O valor exato de $\sin (15)$ é $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

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Etapa 1.8.1

Divida $15$ em dois ângulos em que os valores das seis funções trigonométricas sejam conhecidos.

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} - \sin (45 - 30) \sin (30)$

Etapa 1.8.2

Separar negativação.

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} - \sin (45 - (30)) \sin (30)$

Etapa 1.8.3

Aplique a fórmula da diferença dos ângulos.

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} - (\sin (45) \cos (30) - \cos (45) \sin (30)) \sin (30)$

Etapa 1.8.4

O valor exato de $\sin (45)$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} - (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (30) - \cos (45) \sin (30)) \sin (30)$

Etapa 1.8.5

O valor exato de $\cos (30)$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} - (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (45) \sin (30)) \sin (30)$

Etapa 1.8.6

O valor exato de $\cos (45)$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} - (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (30)) \sin (30)$

Etapa 1.8.7

O valor exato de $\sin (30)$ é $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} - (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \sin (30)$

Etapa 1.8.8

Simplifique $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 1.8.8.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.8.8.1.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.8.8.1.1.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} - (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \sin (30)$

Etapa 1.8.8.1.1.2

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} - (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \sin (30)$

Etapa 1.8.8.1.1.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} - (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \sin (30)$

Etapa 1.8.8.1.1.4

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} - (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \sin (30)$

Etapa 1.8.8.1.2

Multiplique $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 1.8.8.1.2.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} - (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}) \sin (30)$

Etapa 1.8.8.1.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} - (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}) \sin (30)$

Etapa 1.8.8.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} - \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \sin (30)$

Etapa 1.9

O valor exato de $\sin (30)$ é $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} - \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{1}{2}$

Etapa 1.10

Multiplique $- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 1.10.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} - \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2 \cdot 4}$

Etapa 1.10.2

Multiplique $2$ por $4$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} - \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{8}$

Etapa 2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6} - (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{8}$

Etapa 3

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6} - \sqrt{6} - - \sqrt{2}}{8}$

Etapa 3.2

Multiplique $- - \sqrt{2}$ .

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Etapa 3.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6} - \sqrt{6} + 1 \sqrt{2}}{8}$

Etapa 3.2.2

Multiplique $\sqrt{2}$ por $1$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6} - \sqrt{6} + \sqrt{2}}{8}$

Etapa 4

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Some $3 \sqrt{2}$ e $\sqrt{2}$ .

$\frac{4 \sqrt{2} + \sqrt{6} - \sqrt{6}}{8}$

Etapa 4.2

Subtraia $\sqrt{6}$ de $\sqrt{6}$ .

$\frac{4 \sqrt{2} + 0}{8}$

Etapa 4.3

Some $4 \sqrt{2}$ e $0$ .

$\frac{4 \sqrt{2}}{8}$

Etapa 4.4

Cancele o fator comum de $4$ e $8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.1

Fatore $4$ de $4 \sqrt{2}$ .

$\frac{4 (\sqrt{2})}{8}$

Etapa 4.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.2.1

Fatore $4$ de $8$ .

$\frac{4 \sqrt{2}}{4 \cdot 2}$

Etapa 4.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{4 \sqrt{2}}{4 \cdot 2}$

Etapa 4.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 5

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Forma decimal:

$0.70710678 \dots$