Trigonometria Exemplos

$\cos (\arctan (\frac{5}{x}))$

Etapa 1

Desenhe um triângulo no plano com os vértices $(1, \frac{5}{x})$ , $(1, 0)$ e a origem. Então, $\arctan (\frac{5}{x})$ será o ângulo entre o eixo x positivo e o raio que começa na origem e cruza $(1, \frac{5}{x})$ . Portanto, $\cos (\arctan (\frac{5}{x}))$ é $\frac{1}{\sqrt{1 + {(\frac{5}{x})}^{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 + {(\frac{5}{x})}^{2}}}$

Etapa 2

Simplifique o denominador.

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Etapa 2.1

Aplique a regra do produto a $\frac{5}{x}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 + \frac{5^{2}}{x^{2}}}}$

Etapa 2.2

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 + \frac{25}{x^{2}}}}$

Etapa 2.3

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{25}{x^{2}}}}$

Etapa 2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{x^{2} + 25}{x^{2}}}}$

Etapa 2.5

Reescreva $\frac{x^{2} + 25}{x^{2}}$ como ${(\frac{1}{x})}^{2} (x^{2} + 25)$ .

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Etapa 2.5.1

Fatore a potência perfeita $1^{2}$ de $x^{2} + 25$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{1^{2} (x^{2} + 25)}{x^{2}}}}$

Etapa 2.5.2

Fatore a potência perfeita $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{1^{2} (x^{2} + 25)}{x^{2} \cdot 1}}}$

Etapa 2.5.3

Reorganize a fração $\frac{1^{2} (x^{2} + 25)}{x^{2} \cdot 1}$ .

$\frac{1}{\sqrt{{(\frac{1}{x})}^{2} (x^{2} + 25)}}$

Etapa 2.6

Elimine os termos abaixo do radical.

$\frac{1}{\frac{1}{x} \sqrt{x^{2} + 25}}$

Etapa 2.7

Combine $\frac{1}{x}$ e $\sqrt{x^{2} + 25}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{x^{2} + 25}}{x}}$

Etapa 3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$1 \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 25}}$

Etapa 4

Multiplique $\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 25}}$ por $1$ .

$\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 25}}$

Etapa 5

Multiplique $\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 25}}$ por $\frac{\sqrt{x^{2} + 25}}{\sqrt{x^{2} + 25}}$ .

$\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 25}} \cdot \frac{\sqrt{x^{2} + 25}}{\sqrt{x^{2} + 25}}$

Etapa 6

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 6.1

Multiplique $\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 25}}$ por $\frac{\sqrt{x^{2} + 25}}{\sqrt{x^{2} + 25}}$ .

$\frac{x \sqrt{x^{2} + 25}}{\sqrt{x^{2} + 25} \sqrt{x^{2} + 25}}$

Etapa 6.2

Eleve $\sqrt{x^{2} + 25}$ à potência de $1$ .

$\frac{x \sqrt{x^{2} + 25}}{{\sqrt{x^{2} + 25}}^{1} \sqrt{x^{2} + 25}}$

Etapa 6.3

Eleve $\sqrt{x^{2} + 25}$ à potência de $1$ .

$\frac{x \sqrt{x^{2} + 25}}{{\sqrt{x^{2} + 25}}^{1} {\sqrt{x^{2} + 25}}^{1}}$

Etapa 6.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{x \sqrt{x^{2} + 25}}{{\sqrt{x^{2} + 25}}^{1 + 1}}$

Etapa 6.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{x \sqrt{x^{2} + 25}}{{\sqrt{x^{2} + 25}}^{2}}$

Etapa 6.6

Reescreva ${\sqrt{x^{2} + 25}}^{2}$ como $x^{2} + 25$ .

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Etapa 6.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x^{2} + 25}$ como ${(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x \sqrt{x^{2} + 25}}{{({(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 6.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x \sqrt{x^{2} + 25}}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 6.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{x \sqrt{x^{2} + 25}}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 6.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x \sqrt{x^{2} + 25}}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 6.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{x \sqrt{x^{2} + 25}}{{(x^{2} + 25)}^{1}}$

Etapa 6.6.5

Simplifique.

$\frac{x \sqrt{x^{2} + 25}}{x^{2} + 25}$