Trigonometria Exemplos

$\cos (arccsc (\frac{x}{2}))$

Etapa 1

Desenhe um triângulo no plano com os vértices $(\sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1^{2}}, 1)$ , $(\sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1^{2}}, 0)$ e a origem. Então, $arccsc (\frac{x}{2})$ será o ângulo entre o eixo x positivo e o raio que começa na origem e cruza $(\sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1^{2}}, 1)$ . Portanto, $\cos (arccsc (\frac{x}{2}))$ é $\frac{\sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}}{\frac{x}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}}{\frac{x}{2}}$

Etapa 2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1} \frac{2}{x}$

Etapa 3

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1^{2}} \frac{2}{x}$

Etapa 4

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = \frac{x}{2}$ e $b = 1$ .

$\sqrt{(\frac{x}{2} + 1) (\frac{x}{2} - 1)} \frac{2}{x}$

Etapa 5

Combine em uma fração.

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Etapa 5.1

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\sqrt{(\frac{x}{2} + \frac{2}{2}) (\frac{x}{2} - 1)} \frac{2}{x}$

Etapa 5.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\sqrt{\frac{x + 2}{2} (\frac{x}{2} - 1)} \frac{2}{x}$

Etapa 6

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\sqrt{\frac{x + 2}{2} (\frac{x}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2})} \frac{2}{x}$

Etapa 7

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\sqrt{\frac{x + 2}{2} (\frac{x}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2})} \frac{2}{x}$

Etapa 8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\sqrt{\frac{x + 2}{2} \cdot \frac{x - 1 \cdot 2}{2}} \frac{2}{x}$

Etapa 9

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\sqrt{\frac{x + 2}{2} \cdot \frac{x - 2}{2}} \frac{2}{x}$

Etapa 10

Multiplique $\frac{x + 2}{2}$ por $\frac{x - 2}{2}$ .

$\sqrt{\frac{(x + 2) (x - 2)}{2 \cdot 2}} \frac{2}{x}$

Etapa 11

Multiplique $2$ por $2$ .

$\sqrt{\frac{(x + 2) (x - 2)}{4}} \frac{2}{x}$

Etapa 12

Reescreva $\frac{(x + 2) (x - 2)}{4}$ como ${(\frac{1}{2})}^{2} ((x + 2) (x - 2))$ .

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Etapa 12.1

Fatore a potência perfeita $1^{2}$ de $(x + 2) (x - 2)$ .

$\sqrt{\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{4}} \frac{2}{x}$

Etapa 12.2

Fatore a potência perfeita $2^{2}$ de $4$ .

$\sqrt{\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{2^{2} \cdot 1}} \frac{2}{x}$

Etapa 12.3

Reorganize a fração $\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{2^{2} \cdot 1}$ .

$\sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} ((x + 2) (x - 2))} \frac{2}{x}$

Etapa 13

Elimine os termos abaixo do radical.

$\frac{1}{2} \sqrt{(x + 2) (x - 2)} \frac{2}{x}$

Etapa 14

Combine $\frac{1}{2}$ e $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ .

$\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2} \cdot \frac{2}{x}$

Etapa 15

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 15.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2} \cdot \frac{2}{x}$

Etapa 15.2

Reescreva a expressão.

$\sqrt{(x + 2) (x - 2)} \frac{1}{x}$

Etapa 16

Combine $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{x}$