Trigonometria Exemplos

$\sin (\frac{7 π}{12}) \cos (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Etapa 1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1

O valor exato de $\sin (\frac{7 π}{12})$ é $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}$ .

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Etapa 1.1.1

Reescreva $\frac{7 π}{12}$ como um ângulo em que os valores das seis funções trigonométricas são conhecidos e divididos por $2$ .

$\sin (\frac{\frac{7 π}{6}}{2}) \cos (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Etapa 1.1.2

Aplique a fórmula do arco metade do seno.

$(\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{6})}{2}}) \cos (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Etapa 1.1.3

Altere o $\pm$ para $+$ , porque o seno é positivo no segundo quadrante.

$\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{6})}{2}} \cos (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Etapa 1.1.4

Simplifique $\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{6})}{2}}$ .

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Etapa 1.1.4.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no terceiro quadrante.

$\sqrt{\frac{1 - - \cos (\frac{π}{6})}{2}} \cos (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Etapa 1.1.4.2

O valor exato de $\cos (\frac{π}{6})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} \cos (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Etapa 1.1.4.3

Multiplique $- - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Etapa 1.1.4.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\sqrt{\frac{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} \cos (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Etapa 1.1.4.3.2

Multiplique $\frac{\sqrt{3}}{2}$ por $1$ .

$\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} \cos (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Etapa 1.1.4.4

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} \cos (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Etapa 1.1.4.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{2}} \cos (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Etapa 1.1.4.6

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}} \cos (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Etapa 1.1.4.7

Multiplique $\frac{2 + \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 1.1.4.7.1

Multiplique $\frac{2 + \sqrt{3}}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{2 \cdot 2}} \cos (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Etapa 1.1.4.7.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{4}} \cos (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Etapa 1.1.4.8

Reescreva $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{4}}$ como $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{\sqrt{4}}$ .

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{\sqrt{4}} \cos (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Etapa 1.1.4.9

Simplifique o denominador.

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Etapa 1.1.4.9.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{\sqrt{2^{2}}} \cos (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Etapa 1.1.4.9.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2} \cos (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Etapa 1.2

O valor exato de $\cos (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Etapa 1.3

Multiplique $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Etapa 1.3.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}$ por $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} - \cos (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Etapa 1.3.2

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\frac{\sqrt{(2 + \sqrt{3}) \cdot 2}}{2 \cdot 2} - \cos (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Etapa 1.3.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{\sqrt{(2 + \sqrt{3}) \cdot 2}}{4} - \cos (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Etapa 1.4

O valor exato de $\cos (\frac{7 π}{12})$ é $- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$ .

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Etapa 1.4.1

Reescreva $\frac{7 π}{12}$ como um ângulo em que os valores das seis funções trigonométricas são conhecidos e divididos por $2$ .

$\frac{\sqrt{(2 + \sqrt{3}) \cdot 2}}{4} - \cos (\frac{\frac{7 π}{6}}{2}) \sin (\frac{π}{4})$

Etapa 1.4.2

Aplique a fórmula do arco metade do cosseno $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{(2 + \sqrt{3}) \cdot 2}}{4} - (\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}{2}}) \sin (\frac{π}{4})$

Etapa 1.4.3

Altere o $\pm$ para $-$ , porque o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$\frac{\sqrt{(2 + \sqrt{3}) \cdot 2}}{4} - - \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}{2}} \sin (\frac{π}{4})$

Etapa 1.4.4

Simplifique $- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}{2}}$ .

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Etapa 1.4.4.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no terceiro quadrante.

$\frac{\sqrt{(2 + \sqrt{3}) \cdot 2}}{4} - - \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{6})}{2}} \sin (\frac{π}{4})$

Etapa 1.4.4.2

O valor exato de $\cos (\frac{π}{6})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{(2 + \sqrt{3}) \cdot 2}}{4} - - \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} \sin (\frac{π}{4})$

Etapa 1.4.4.3

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{\sqrt{(2 + \sqrt{3}) \cdot 2}}{4} - - \sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} \sin (\frac{π}{4})$

Etapa 1.4.4.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\sqrt{(2 + \sqrt{3}) \cdot 2}}{4} - - \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{3}}{2}}{2}} \sin (\frac{π}{4})$

Etapa 1.4.4.5

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{\sqrt{(2 + \sqrt{3}) \cdot 2}}{4} - - \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}} \sin (\frac{π}{4})$

Etapa 1.4.4.6

Multiplique $\frac{2 - \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 1.4.4.6.1

Multiplique $\frac{2 - \sqrt{3}}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{(2 + \sqrt{3}) \cdot 2}}{4} - - \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{2 \cdot 2}} \sin (\frac{π}{4})$

Etapa 1.4.4.6.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{\sqrt{(2 + \sqrt{3}) \cdot 2}}{4} - - \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{4}} \sin (\frac{π}{4})$

Etapa 1.4.4.7

Reescreva $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{4}}$ como $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{\sqrt{4}}$ .

$\frac{\sqrt{(2 + \sqrt{3}) \cdot 2}}{4} - - \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{\sqrt{4}} \sin (\frac{π}{4})$

Etapa 1.4.4.8

Simplifique o denominador.

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Etapa 1.4.4.8.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{(2 + \sqrt{3}) \cdot 2}}{4} - - \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{\sqrt{2^{2}}} \sin (\frac{π}{4})$

Etapa 1.4.4.8.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{\sqrt{(2 + \sqrt{3}) \cdot 2}}{4} - - \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2} \sin (\frac{π}{4})$

Etapa 1.5

Multiplique $- - \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$ .

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Etapa 1.5.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{\sqrt{(2 + \sqrt{3}) \cdot 2}}{4} + 1 \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2} \sin (\frac{π}{4})$

Etapa 1.5.2

Multiplique $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$ por $1$ .

$\frac{\sqrt{(2 + \sqrt{3}) \cdot 2}}{4} + \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2} \sin (\frac{π}{4})$

Etapa 1.6

O valor exato de $\sin (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{(2 + \sqrt{3}) \cdot 2}}{4} + \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 1.7

Multiplique $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Etapa 1.7.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$ por $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{(2 + \sqrt{3}) \cdot 2}}{4} + \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Etapa 1.7.2

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\frac{\sqrt{(2 + \sqrt{3}) \cdot 2}}{4} + \frac{\sqrt{(2 - \sqrt{3}) \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Etapa 1.7.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{\sqrt{(2 + \sqrt{3}) \cdot 2}}{4} + \frac{\sqrt{(2 - \sqrt{3}) \cdot 2}}{4}$

Etapa 2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\sqrt{(2 + \sqrt{3}) \cdot 2} + \sqrt{(2 - \sqrt{3}) \cdot 2}}{4}$

Etapa 3

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{\sqrt{(2 + \sqrt{3}) \cdot 2} + \sqrt{(2 - \sqrt{3}) \cdot 2}}{4}$

Forma decimal:

$0.86602540 \dots$