Trigonometria Exemplos

$\sin (\frac{2 π}{3}) \cos (\frac{π}{12}) + \cos (\frac{2 π}{3}) \sin (\frac{π}{12})$

Etapa 1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$\sin (\frac{π}{3}) \cos (\frac{π}{12}) + \cos (\frac{2 π}{3}) \sin (\frac{π}{12})$

Etapa 1.2

O valor exato de $\sin (\frac{π}{3})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cos (\frac{π}{12}) + \cos (\frac{2 π}{3}) \sin (\frac{π}{12})$

Etapa 1.3

O valor exato de $\cos (\frac{π}{12})$ é $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

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Etapa 1.3.1

Divida $\frac{π}{12}$ em dois ângulos em que os valores das seis funções trigonométricas sejam conhecidos.

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cos (\frac{π}{4} - \frac{π}{6}) + \cos (\frac{2 π}{3}) \sin (\frac{π}{12})$

Etapa 1.3.2

Aplique a fórmula da diferença dos ângulos $\cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} (\cos (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) + \cos (\frac{2 π}{3}) \sin (\frac{π}{12})$

Etapa 1.3.3

O valor exato de $\cos (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) + \cos (\frac{2 π}{3}) \sin (\frac{π}{12})$

Etapa 1.3.4

O valor exato de $\cos (\frac{π}{6})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) + \cos (\frac{2 π}{3}) \sin (\frac{π}{12})$

Etapa 1.3.5

O valor exato de $\sin (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{π}{6})) + \cos (\frac{2 π}{3}) \sin (\frac{π}{12})$

Etapa 1.3.6

O valor exato de $\sin (\frac{π}{6})$ é $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) + \cos (\frac{2 π}{3}) \sin (\frac{π}{12})$

Etapa 1.3.7

Simplifique $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 1.3.7.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.3.7.1.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Etapa 1.3.7.1.1.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) + \cos (\frac{2 π}{3}) \sin (\frac{π}{12})$

Etapa 1.3.7.1.1.2

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\frac{\sqrt{3}}{2} (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) + \cos (\frac{2 π}{3}) \sin (\frac{π}{12})$

Etapa 1.3.7.1.1.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) + \cos (\frac{2 π}{3}) \sin (\frac{π}{12})$

Etapa 1.3.7.1.1.4

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) + \cos (\frac{2 π}{3}) \sin (\frac{π}{12})$

Etapa 1.3.7.1.2

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 1.3.7.1.2.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}) + \cos (\frac{2 π}{3}) \sin (\frac{π}{12})$

Etapa 1.3.7.1.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}) + \cos (\frac{2 π}{3}) \sin (\frac{π}{12})$

Etapa 1.3.7.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + \cos (\frac{2 π}{3}) \sin (\frac{π}{12})$

Etapa 1.4

Multiplique $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

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Etapa 1.4.1

Multiplique $\frac{\sqrt{3}}{2}$ por $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

$\frac{\sqrt{3} (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{2 \cdot 4} + \cos (\frac{2 π}{3}) \sin (\frac{π}{12})$

Etapa 1.4.2

Multiplique $2$ por $4$ .

$\frac{\sqrt{3} (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{8} + \cos (\frac{2 π}{3}) \sin (\frac{π}{12})$

Etapa 1.5

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\sqrt{3} \sqrt{6} + \sqrt{3} \sqrt{2}}{8} + \cos (\frac{2 π}{3}) \sin (\frac{π}{12})$

Etapa 1.6

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\frac{\sqrt{3 \cdot 6} + \sqrt{3} \sqrt{2}}{8} + \cos (\frac{2 π}{3}) \sin (\frac{π}{12})$

Etapa 1.7

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\frac{\sqrt{3 \cdot 6} + \sqrt{3 \cdot 2}}{8} + \cos (\frac{2 π}{3}) \sin (\frac{π}{12})$

Etapa 1.8

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.8.1

Multiplique $3$ por $6$ .

$\frac{\sqrt{18} + \sqrt{3 \cdot 2}}{8} + \cos (\frac{2 π}{3}) \sin (\frac{π}{12})$

Etapa 1.8.2

Reescreva $18$ como $3^{2} \cdot 2$ .

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Etapa 1.8.2.1

Fatore $9$ de $18$ .

$\frac{\sqrt{9 (2)} + \sqrt{3 \cdot 2}}{8} + \cos (\frac{2 π}{3}) \sin (\frac{π}{12})$

Etapa 1.8.2.2

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3^{2} \cdot 2} + \sqrt{3 \cdot 2}}{8} + \cos (\frac{2 π}{3}) \sin (\frac{π}{12})$

Etapa 1.8.3

Elimine os termos abaixo do radical.

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{3 \cdot 2}}{8} + \cos (\frac{2 π}{3}) \sin (\frac{π}{12})$

Etapa 1.8.4

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} + \cos (\frac{2 π}{3}) \sin (\frac{π}{12})$

Etapa 1.9

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} - \cos (\frac{π}{3}) \sin (\frac{π}{12})$

Etapa 1.10

O valor exato de $\cos (\frac{π}{3})$ é $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} - \frac{1}{2} \sin (\frac{π}{12})$

Etapa 1.11

O valor exato de $\sin (\frac{π}{12})$ é $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

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Etapa 1.11.1

Divida $\frac{π}{12}$ em dois ângulos em que os valores das seis funções trigonométricas sejam conhecidos.

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} - \frac{1}{2} \sin (\frac{π}{4} - \frac{π}{6})$

Etapa 1.11.2

Aplique a fórmula da diferença dos ângulos.

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} - \frac{1}{2} (\sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{6}) - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}))$

Etapa 1.11.3

O valor exato de $\sin (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} - \frac{1}{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{6}) - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}))$

Etapa 1.11.4

O valor exato de $\cos (\frac{π}{6})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} - \frac{1}{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}))$

Etapa 1.11.5

O valor exato de $\cos (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} - \frac{1}{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{π}{6}))$

Etapa 1.11.6

O valor exato de $\sin (\frac{π}{6})$ é $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} - \frac{1}{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Etapa 1.11.7

Simplifique $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 1.11.7.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.11.7.1.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Etapa 1.11.7.1.1.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} - \frac{1}{2} (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Etapa 1.11.7.1.1.2

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} - \frac{1}{2} (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Etapa 1.11.7.1.1.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} - \frac{1}{2} (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Etapa 1.11.7.1.1.4

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} - \frac{1}{2} (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Etapa 1.11.7.1.2

Multiplique $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 1.11.7.1.2.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} - \frac{1}{2} (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2})$

Etapa 1.11.7.1.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} - \frac{1}{2} (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4})$

Etapa 1.11.7.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

Etapa 1.12

Multiplique $- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

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Etapa 1.12.1

Multiplique $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} - \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 \cdot 2}$

Etapa 1.12.2

Multiplique $4$ por $2$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} - \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{8}$

Etapa 2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6} - (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{8}$

Etapa 3

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6} - \sqrt{6} - - \sqrt{2}}{8}$

Etapa 3.2

Multiplique $- - \sqrt{2}$ .

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Etapa 3.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6} - \sqrt{6} + 1 \sqrt{2}}{8}$

Etapa 3.2.2

Multiplique $\sqrt{2}$ por $1$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6} - \sqrt{6} + \sqrt{2}}{8}$

Etapa 4

Simplifique os termos.

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Etapa 4.1

Some $3 \sqrt{2}$ e $\sqrt{2}$ .

$\frac{4 \sqrt{2} + \sqrt{6} - \sqrt{6}}{8}$

Etapa 4.2

Subtraia $\sqrt{6}$ de $\sqrt{6}$ .

$\frac{4 \sqrt{2} + 0}{8}$

Etapa 4.3

Some $4 \sqrt{2}$ e $0$ .

$\frac{4 \sqrt{2}}{8}$

Etapa 4.4

Cancele o fator comum de $4$ e $8$ .

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Etapa 4.4.1

Fatore $4$ de $4 \sqrt{2}$ .

$\frac{4 (\sqrt{2})}{8}$

Etapa 4.4.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.4.2.1

Fatore $4$ de $8$ .

$\frac{4 \sqrt{2}}{4 \cdot 2}$

Etapa 4.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{4 \sqrt{2}}{4 \cdot 2}$

Etapa 4.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 5

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Forma decimal:

$0.70710678 \dots$