Trigonometria Exemplos

$\frac{10^{x} + 10^{- x}}{10^{x} - 10^{- x}} = 5$

Etapa 1

Multiplique os dois lados por $10^{x} - 10^{- x}$ .

$\frac{10^{x} + 10^{- x}}{10^{x} - 10^{- x}} (10^{x} - 10^{- x}) = 5 (10^{x} - 10^{- x})$

Etapa 2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.1.1

Cancele o fator comum de $10^{x} - 10^{- x}$ .

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Etapa 2.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{10^{x} + 10^{- x}}{10^{x} - 10^{- x}} (10^{x} - 10^{- x}) = 5 (10^{x} - 10^{- x})$

Etapa 2.1.1.2

Reescreva a expressão.

$10^{x} + 10^{- x} = 5 (10^{x} - 10^{- x})$

Etapa 2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Simplifique $5 (10^{x} - 10^{- x})$ .

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Etapa 2.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$10^{x} + 10^{- x} = 5 \cdot 10^{x} + 5 (- 10^{- x})$

Etapa 2.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$10^{x} + 10^{- x} = 5 \cdot 10^{x} - 5 \cdot 10^{- x}$

Etapa 3

Resolva $x$ .

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Etapa 3.1

Reescreva $10^{- x}$ como exponenciação.

$10^{x} + {(10^{x})}^{- 1} = 5 \cdot 10^{x} - 5 \cdot 10^{- x}$

Etapa 3.2

Substitua $u$ por $10^{x}$ .

$u + u^{- 1} = 5 \cdot 10^{x} - 5 \cdot 10^{- x}$

Etapa 3.3

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u + \frac{1}{u} = 5 \cdot 10^{x} - 5 \cdot 10^{- x}$

Etapa 3.4

Reescreva $10^{- x}$ como exponenciação.

$u + \frac{1}{u} = 5 \cdot 10^{x} - 5 \cdot {(10^{x})}^{- 1} = 5 \cdot 10^{x} - 5 \cdot 10^{- x}$

Etapa 3.5

Substitua $u$ por $10^{x}$ .

$u + \frac{1}{u} = 5 \cdot u - 5 \cdot u^{- 1} = 5 \cdot 10^{x} - 5 \cdot 10^{- x}$

Etapa 3.6

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u + \frac{1}{u} = 5 u - 5 \cdot \frac{1}{u} = 5 \cdot 10^{x} - 5 \cdot 10^{- x}$

Etapa 3.6.2

Combine $- 5$ e $\frac{1}{u}$ .

$u + \frac{1}{u} = 5 u + \frac{- 5}{u} = 5 \cdot 10^{x} - 5 \cdot 10^{- x}$

Etapa 3.6.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$u + \frac{1}{u} = 5 u - \frac{5}{u} = 5 \cdot 10^{x} - 5 \cdot 10^{- x}$

Etapa 3.7

Mova todos os termos que contêm $x$ para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 3.7.1

Subtraia $5 \cdot 10^{x}$ dos dois lados da equação.

$10^{x} + 10^{- x} - 5 \cdot 10^{x} = - 5 \cdot 10^{- x}$

Etapa 3.7.2

Some $5 \cdot 10^{- x}$ aos dois lados da equação.

$10^{x} + 10^{- x} - 5 \cdot 10^{x} + 5 \cdot 10^{- x} = 0$

Etapa 3.7.3

Subtraia $5 \cdot 10^{x}$ de $10^{x}$ .

$10^{- x} - 4 \cdot 10^{x} + 5 \cdot 10^{- x} = 0$

Etapa 3.7.4

Some $10^{- x}$ e $5 \cdot 10^{- x}$ .

$6 \cdot 10^{- x} - 4 \cdot 10^{x} = 0$

Etapa 3.8

Reescreva $10^{- x}$ como exponenciação.

$6 \cdot {(10^{x})}^{- 1} - 4 \cdot 10^{x} = 0$

Etapa 3.9

Substitua $u$ por $10^{x}$ .

$6 \cdot u^{- 1} - 4 \cdot u = 0$

Etapa 3.10

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.10.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6 \cdot \frac{1}{u} - 4 \cdot u = 0$

Etapa 3.10.2

Combine $6$ e $\frac{1}{u}$ .

$\frac{6}{u} - 4 u = 0$

Etapa 3.11

Reordene $\frac{6}{u}$ e $- 4 u$ .

$- 4 u + \frac{6}{u} = 0$

Etapa 3.12

Resolva $u$ .

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Etapa 3.12.1

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 3.12.1.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$1, u, 1$

Etapa 3.12.1.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$u$

Etapa 3.12.2

Multiplique cada termo em $- 4 u + \frac{6}{u} = 0$ por $u$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.12.2.1

Multiplique cada termo em $- 4 u + \frac{6}{u} = 0$ por $u$ .

$- 4 u \cdot u + \frac{6}{u} u = 0 u$

Etapa 3.12.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.12.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.12.2.2.1.1

Multiplique $u$ por $u$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.12.2.2.1.1.1

Mova $u$ .

$- 4 (u \cdot u) + \frac{6}{u} u = 0 u$

Etapa 3.12.2.2.1.1.2

Multiplique $u$ por $u$ .

$- 4 u^{2} + \frac{6}{u} u = 0 u$

Etapa 3.12.2.2.1.2

Cancele o fator comum de $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.12.2.2.1.2.1

Cancele o fator comum.

$- 4 u^{2} + \frac{6}{u} u = 0 u$

Etapa 3.12.2.2.1.2.2

Reescreva a expressão.

$- 4 u^{2} + 6 = 0 u$

Etapa 3.12.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.12.2.3.1

Multiplique $0$ por $u$ .

$- 4 u^{2} + 6 = 0$

Etapa 3.12.3

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.12.3.1

Subtraia $6$ dos dois lados da equação.

$- 4 u^{2} = - 6$

Etapa 3.12.3.2

Divida cada termo em $- 4 u^{2} = - 6$ por $- 4$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.12.3.2.1

Divida cada termo em $- 4 u^{2} = - 6$ por $- 4$ .

$\frac{- 4 u^{2}}{- 4} = \frac{- 6}{- 4}$

Etapa 3.12.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.12.3.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.12.3.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 4 u^{2}}{- 4} = \frac{- 6}{- 4}$

Etapa 3.12.3.2.2.1.2

Divida $u^{2}$ por $1$ .

$u^{2} = \frac{- 6}{- 4}$

Etapa 3.12.3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.12.3.2.3.1

Cancele o fator comum de $- 6$ e $- 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.12.3.2.3.1.1

Fatore $- 2$ de $- 6$ .

$u^{2} = \frac{- 2 (3)}{- 4}$

Etapa 3.12.3.2.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.12.3.2.3.1.2.1

Fatore $- 2$ de $- 4$ .

$u^{2} = \frac{- 2 \cdot 3}{- 2 \cdot 2}$

Etapa 3.12.3.2.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$u^{2} = \frac{- 2 \cdot 3}{- 2 \cdot 2}$

Etapa 3.12.3.2.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$u^{2} = \frac{3}{2}$

Etapa 3.12.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$u = \pm \sqrt{\frac{3}{2}}$

Etapa 3.12.3.4

Simplifique $\pm \sqrt{\frac{3}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.12.3.4.1

Reescreva $\sqrt{\frac{3}{2}}$ como $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ .

$u = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$

Etapa 3.12.3.4.2

Multiplique $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$u = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Etapa 3.12.3.4.3

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.12.3.4.3.1

Multiplique $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$u = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Etapa 3.12.3.4.3.2

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$u = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Etapa 3.12.3.4.3.3

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$u = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Etapa 3.12.3.4.3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$u = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Etapa 3.12.3.4.3.5

Some $1$ e $1$ .

$u = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Etapa 3.12.3.4.3.6

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Etapa 3.12.3.4.3.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$u = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 3.12.3.4.3.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 3.12.3.4.3.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$u = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 3.12.3.4.3.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.12.3.4.3.6.4.1

Cancele o fator comum.

$u = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 3.12.3.4.3.6.4.2

Reescreva a expressão.

$u = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Etapa 3.12.3.4.3.6.5

Avalie o expoente.

$u = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2}$

Etapa 3.12.3.4.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.12.3.4.4.1

Combine usando a regra do produto para radicais.

$u = \pm \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2}$

Etapa 3.12.3.4.4.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$u = \pm \frac{\sqrt{6}}{2}$

Etapa 3.12.3.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.12.3.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$u = \frac{\sqrt{6}}{2}$

Etapa 3.12.3.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$u = - \frac{\sqrt{6}}{2}$

Etapa 3.12.3.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$u = \frac{\sqrt{6}}{2}, - \frac{\sqrt{6}}{2}$

Etapa 3.13

Substitua $\frac{\sqrt{6}}{2}$ por $u$ em $u = 10^{x}$ .

$\frac{\sqrt{6}}{2} = 10^{x}$

Etapa 3.14

Resolva $\frac{\sqrt{6}}{2} = 10^{x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.14.1

Reescreva a equação como $10^{x} = \frac{\sqrt{6}}{2}$ .

$10^{x} = \frac{\sqrt{6}}{2}$

Etapa 3.14.2

Obtenha o logaritmo $10$ de base dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\log (10^{x}) = \log (\frac{\sqrt{6}}{2})$

Etapa 3.14.3

Expanda o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.14.3.1

Expanda $\log (10^{x})$ movendo $x$ para fora do logaritmo.

$x \log (10) = \log (\frac{\sqrt{6}}{2})$

Etapa 3.14.3.2

A base do logaritmo $10$ de $10$ é $1$ .

$x \cdot 1 = \log (\frac{\sqrt{6}}{2})$

Etapa 3.14.3.3

Multiplique $x$ por $1$ .

$x = \log (\frac{\sqrt{6}}{2})$

Etapa 3.15

Substitua $- \frac{\sqrt{6}}{2}$ por $u$ em $u = 10^{x}$ .

$- \frac{\sqrt{6}}{2} = 10^{x}$

Etapa 3.16

Resolva $- \frac{\sqrt{6}}{2} = 10^{x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.16.1

Reescreva a equação como $10^{x} = - \frac{\sqrt{6}}{2}$ .

$10^{x} = - \frac{\sqrt{6}}{2}$

Etapa 3.16.2

Obtenha o logaritmo $10$ de base dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\log (10^{x}) = \log (- \frac{\sqrt{6}}{2})$

Etapa 3.16.3

Não é possível resolver a equação, porque $\log (- \frac{\sqrt{6}}{2})$ é indefinida.

Indefinido

Etapa 3.16.4

Não há uma solução para $10^{x} = - \frac{\sqrt{6}}{2}$

Nenhuma solução

Etapa 3.17

Liste as soluções que tornam a equação verdadeira.

$x = \log (\frac{\sqrt{6}}{2})$

Etapa 4

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = \log (\frac{\sqrt{6}}{2})$

Forma decimal:

$x = 0.08804562 \dots$