Trigonometria Exemplos

$\log ({(81)}^{y}) < \log ({(27)}^{y + 3})$

Etapa 1

Converta a desigualdade em uma igualdade.

$\log (81^{y}) = \log (27^{y + 3})$

Etapa 2

Resolva a equação.

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Etapa 2.1

Obtenha o logaritmo dos dois lados da equação.

$\ln (\log (81^{y})) = \ln (\log (27^{y + 3}))$

Etapa 2.2

Expanda $\log (81^{y})$ movendo $y$ para fora do logaritmo.

$\ln (y \log (81)) = \ln (\log (27^{y + 3}))$

Etapa 2.3

Reescreva $\ln (y \log (81))$ como $\ln (y) + \ln (\log (81))$ .

$\ln (y) + \ln (\log (81)) = \ln (\log (27^{y + 3}))$

Etapa 2.4

Expanda $\log (27^{y + 3})$ movendo $y + 3$ para fora do logaritmo.

$\ln (y) + \ln (\log (81)) = \ln ((y + 3) \log (27))$

Etapa 2.5

Reescreva $\ln ((y + 3) \log (27))$ como $\ln (y + 3) + \ln (\log (27))$ .

$\ln (y) + \ln (\log (81)) = \ln (y + 3) + \ln (\log (27))$

Etapa 2.6

Resolva a equação para $y$ .

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Etapa 2.6.1

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (y \log (81)) = \ln (y + 3) + \ln (\log (27))$

Etapa 2.6.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.6.2.1

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (y \log (81)) = \ln ((y + 3) \log (27))$

Etapa 2.6.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\ln (y \log (81)) = \ln (y \log (27) + 3 \log (27))$

Etapa 2.6.3

Simplifique $3 \log (27)$ movendo $3$ para dentro do logaritmo.

$\ln (y \log (81)) = \ln (y \log (27) + \log (27^{3}))$

Etapa 2.6.4

Para que a equação seja igual, o argumento dos logaritmos deve ser igual nos dois lados da equação.

$y \log (81) = y \log (27) + \log (27^{3})$

Etapa 2.6.5

Resolva $y$ .

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Etapa 2.6.5.1

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.6.5.1.1

Eleve $27$ à potência de $3$ .

$y \log (81) = y \log (27) + \log (19683)$

Etapa 2.6.5.2

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$y \log (81) - y \log (27) - \log (19683) = 0$

Etapa 2.6.5.3

Some $\log (19683)$ aos dois lados da equação.

$y \log (81) - y \log (27) = \log (19683)$

Etapa 2.6.5.4

Fatore $y$ de $y \log (81) - y \log (27)$ .

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Etapa 2.6.5.4.1

Fatore $y$ de $y \log (81)$ .

$y (\log (81)) - y \log (27) = \log (19683)$

Etapa 2.6.5.4.2

Fatore $y$ de $- y \log (27)$ .

$y (\log (81)) + y (- 1 \log (27)) = \log (19683)$

Etapa 2.6.5.4.3

Fatore $y$ de $y (\log (81)) + y (- 1 \log (27))$ .

$y (\log (81) - 1 \log (27)) = \log (19683)$

Etapa 2.6.5.5

Reescreva $- 1 \log (27)$ como $- \log (27)$ .

$y (\log (81) - \log (27)) = \log (19683)$

Etapa 2.6.5.6

Divida cada termo em $y (\log (81) - \log (27)) = \log (19683)$ por $\log (81) - \log (27)$ e simplifique.

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Etapa 2.6.5.6.1

Divida cada termo em $y (\log (81) - \log (27)) = \log (19683)$ por $\log (81) - \log (27)$ .

$\frac{y (\log (81) - \log (27))}{\log (81) - \log (27)} = \frac{\log (19683)}{\log (81) - \log (27)}$

Etapa 2.6.5.6.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.6.5.6.2.1

Cancele o fator comum de $\log (81) - \log (27)$ .

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Etapa 2.6.5.6.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y (\log (81) - \log (27))}{\log (81) - \log (27)} = \frac{\log (19683)}{\log (81) - \log (27)}$

Etapa 2.6.5.6.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{\log (19683)}{\log (81) - \log (27)}$

Etapa 3

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$y < \frac{\log (19683)}{\log (81) - \log (27)}$

Etapa 4

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Fórmula da desigualdade:

$y < \frac{\log (19683)}{\log (81) - \log (27)}$

Notação de intervalo:

$(- \infty, \frac{\log (19683)}{\log (81) - \log (27)})$

Etapa 5