Trigonometria Exemplos

$\log (5 x) + \log (x - 2) = 2$

Etapa 1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.1

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log (5 x (x - 2)) = 2$

Etapa 1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\log (5 x \cdot x + 5 x \cdot - 2) = 2$

Etapa 1.3

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 1.3.1

Mova $x$ .

$\log (5 (x \cdot x) + 5 x \cdot - 2) = 2$

Etapa 1.3.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\log (5 x^{2} + 5 x \cdot - 2) = 2$

Etapa 1.4

Multiplique $- 2$ por $5$ .

$\log (5 x^{2} - 10 x) = 2$

Etapa 2

Reescreva $\log (5 x^{2} - 10 x) = 2$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$10^{2} = 5 x^{2} - 10 x$

Etapa 3

Resolva $x$ .

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Etapa 3.1

Reescreva a equação como $5 x^{2} - 10 x = 10^{2}$ .

$5 x^{2} - 10 x = 10^{2}$

Etapa 3.2

Eleve $10$ à potência de $2$ .

$5 x^{2} - 10 x = 100$

Etapa 3.3

Subtraia $100$ dos dois lados da equação.

$5 x^{2} - 10 x - 100 = 0$

Etapa 3.4

Fatore $5$ de $5 x^{2} - 10 x - 100$ .

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Etapa 3.4.1

Fatore $5$ de $5 x^{2}$ .

$5 (x^{2}) - 10 x - 100 = 0$

Etapa 3.4.2

Fatore $5$ de $- 10 x$ .

$5 (x^{2}) + 5 (- 2 x) - 100 = 0$

Etapa 3.4.3

Fatore $5$ de $- 100$ .

$5 x^{2} + 5 (- 2 x) + 5 \cdot - 20 = 0$

Etapa 3.4.4

Fatore $5$ de $5 x^{2} + 5 (- 2 x)$ .

$5 (x^{2} - 2 x) + 5 \cdot - 20 = 0$

Etapa 3.4.5

Fatore $5$ de $5 (x^{2} - 2 x) + 5 \cdot - 20$ .

$5 (x^{2} - 2 x - 20) = 0$

Etapa 3.5

Divida cada termo em $5 (x^{2} - 2 x - 20) = 0$ por $5$ e simplifique.

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Etapa 3.5.1

Divida cada termo em $5 (x^{2} - 2 x - 20) = 0$ por $5$ .

$\frac{5 (x^{2} - 2 x - 20)}{5} = \frac{0}{5}$

Etapa 3.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.5.2.1

Cancele o fator comum de $5$ .

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Etapa 3.5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{5 (x^{2} - 2 x - 20)}{5} = \frac{0}{5}$

Etapa 3.5.2.1.2

Divida $x^{2} - 2 x - 20$ por $1$ .

$x^{2} - 2 x - 20 = \frac{0}{5}$

Etapa 3.5.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.5.3.1

Divida $0$ por $5$ .

$x^{2} - 2 x - 20 = 0$

Etapa 3.6

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 3.7

Substitua os valores $a = 1$ , $b = - 2$ e $c = - 20$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 20)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.8

Simplifique.

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Etapa 3.8.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.8.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 20}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.8.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot - 20$ .

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Etapa 3.8.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 20}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.8.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $- 20$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 80}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.8.1.3

Some $4$ e $80$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{84}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.8.1.4

Reescreva $84$ como $2^{2} \cdot 21$ .

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Etapa 3.8.1.4.1

Fatore $4$ de $84$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (21)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.8.1.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 21}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.8.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{21}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.8.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{21}}{2}$

Etapa 3.8.3

Simplifique $\frac{2 \pm 2 \sqrt{21}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{21}$

Etapa 3.9

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = 1 + \sqrt{21}, 1 - \sqrt{21}$

Etapa 4

Exclua as soluções que não tornam $\log (5 x) + \log (x - 2) = 2$ verdadeira.

$x = 1 + \sqrt{21}$

Etapa 5

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = 1 + \sqrt{21}$

Forma decimal:

$x = 5.58257569 \dots$