Trigonometria Exemplos

$\tan (x) + \frac{\sqrt{3}}{\tan (x)} < 1 + \sqrt{3}$

Etapa 1

Substitua $u$ por $\tan (x)$ .

$(u) + \frac{\sqrt{3}}{u} < 1 + \sqrt{3}$

Etapa 2

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 2.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$1, u, 1, 1$

Etapa 2.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$u$

Etapa 3

Multiplique cada termo em $u + \frac{\sqrt{3}}{u} < 1 + \sqrt{3}$ por $u$ para eliminar as frações.

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Etapa 3.1

Multiplique cada termo em $u + \frac{\sqrt{3}}{u} < 1 + \sqrt{3}$ por $u$ .

$u \cdot u + \frac{\sqrt{3}}{u} u < 1 u + \sqrt{3} u$

Etapa 3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1.1

Multiplique $u$ por $u$ .

$u^{2} + \frac{\sqrt{3}}{u} u < 1 u + \sqrt{3} u$

Etapa 3.2.1.2

Cancele o fator comum de $u$ .

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Etapa 3.2.1.2.1

Cancele o fator comum.

$u^{2} + \frac{\sqrt{3}}{u} u < 1 u + \sqrt{3} u$

Etapa 3.2.1.2.2

Reescreva a expressão.

$u^{2} + \sqrt{3} < 1 u + \sqrt{3} u$

Etapa 3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.1

Multiplique $u$ por $1$ .

$u^{2} + \sqrt{3} < u + \sqrt{3} u$

Etapa 4

Resolva a desigualdade.

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Etapa 4.1

Reescreva de forma que $u$ esteja do lado esquerdo da desigualdade.

$u + \sqrt{3} u > u^{2} + \sqrt{3}$

Etapa 4.2

Subtraia $u^{2}$ dos dois lados da desigualdade.

$u + \sqrt{3} u - u^{2} > \sqrt{3}$

Etapa 4.3

Converta a desigualdade em uma equação.

$u + \sqrt{3} u - u^{2} = \sqrt{3}$

Etapa 4.4

Subtraia $\sqrt{3}$ dos dois lados da equação.

$u + \sqrt{3} u - u^{2} - \sqrt{3} = 0$

Etapa 4.5

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 4.5.1

Reordene os termos.

$- u^{2} + u + u \sqrt{3} - \sqrt{3} = 0$

Etapa 4.5.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 4.5.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$- u^{2} + u + u \sqrt{3} - \sqrt{3} = 0$

Etapa 4.5.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$u (- u + 1) - \sqrt{3} (- u + 1) = 0$

Etapa 4.5.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $- u + 1$ .

$(- u + 1) (u - \sqrt{3}) = 0$

Etapa 4.6

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$- u + 1 = 0$

$u - \sqrt{3} = 0$

Etapa 4.7

Defina $- u + 1$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

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Etapa 4.7.1

Defina $- u + 1$ como igual a $0$ .

$- u + 1 = 0$

Etapa 4.7.2

Resolva $- u + 1 = 0$ para $u$ .

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Etapa 4.7.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- u = - 1$

Etapa 4.7.2.2

Divida cada termo em $- u = - 1$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 4.7.2.2.1

Divida cada termo em $- u = - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- u}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 4.7.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.7.2.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{u}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 4.7.2.2.2.2

Divida $u$ por $1$ .

$u = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 4.7.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.7.2.2.3.1

Divida $- 1$ por $- 1$ .

$u = 1$

Etapa 4.8

Defina $u - \sqrt{3}$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

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Etapa 4.8.1

Defina $u - \sqrt{3}$ como igual a $0$ .

$u - \sqrt{3} = 0$

Etapa 4.8.2

Some $\sqrt{3}$ aos dois lados da equação.

$u = \sqrt{3}$

Etapa 4.9

A solução final são todos os valores que tornam $(- u + 1) (u - \sqrt{3}) = 0$ verdadeiro.

$u = 1, \sqrt{3}$

Etapa 5

Substitua $\tan (x)$ por $u$ .

$\tan (x) = 1, \sqrt{3}$

Etapa 6

Estabeleça cada uma das soluções para resolver $x$ .

$\tan (x) = 1$

$\tan (x) = \sqrt{3}$

Etapa 7

Resolva $x$ em $\tan (x) = 1$ .

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Etapa 7.1

Obtenha a tangente inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da tangente.

$x = \arctan (1)$

Etapa 7.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.2.1

O valor exato de $\arctan (1)$ é $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Etapa 7.3

A função da tangente é positiva no primeiro e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, some o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = π + \frac{π}{4}$

Etapa 7.4

Simplifique $π + \frac{π}{4}$ .

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Etapa 7.4.1

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Etapa 7.4.2

Combine frações.

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Etapa 7.4.2.1

Combine $π$ e $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Etapa 7.4.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Etapa 7.4.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.4.3.1

Mova $4$ para a esquerda de $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Etapa 7.4.3.2

Some $4 π$ e $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Etapa 7.5

Encontre o período de $\tan (x)$ .

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Etapa 7.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Etapa 7.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Etapa 7.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{π}{1}$

Etapa 7.5.4

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 7.6

O período da função $\tan (x)$ é $π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 8

Resolva $x$ em $\tan (x) = \sqrt{3}$ .

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Etapa 8.1

Obtenha a tangente inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da tangente.

$x = \arctan (\sqrt{3})$

Etapa 8.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.2.1

O valor exato de $\arctan (\sqrt{3})$ é $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Etapa 8.3

A função da tangente é positiva no primeiro e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, some o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = π + \frac{π}{3}$

Etapa 8.4

Simplifique $π + \frac{π}{3}$ .

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Etapa 8.4.1

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$x = π \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3}$

Etapa 8.4.2

Combine frações.

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Etapa 8.4.2.1

Combine $π$ e $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{π \cdot 3}{3} + \frac{π}{3}$

Etapa 8.4.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{π \cdot 3 + π}{3}$

Etapa 8.4.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.4.3.1

Mova $3$ para a esquerda de $π$ .

$x = \frac{3 \cdot π + π}{3}$

Etapa 8.4.3.2

Some $3 π$ e $π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Etapa 8.5

Encontre o período de $\tan (x)$ .

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Etapa 8.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Etapa 8.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Etapa 8.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{π}{1}$

Etapa 8.5.4

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 8.6

O período da função $\tan (x)$ é $π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{4 π}{3} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 9

Liste todas as soluções.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n, \frac{π}{3} + π n, \frac{4 π}{3} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 10

Consolide as soluções.

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Etapa 10.1

Consolide $\frac{π}{4} + π n$ e $\frac{5 π}{4} + π n$ em $\frac{π}{4} + π n$ .

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{π}{3} + π n, \frac{4 π}{3} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 10.2

Consolide $\frac{π}{3} + π n$ e $\frac{4 π}{3} + π n$ em $\frac{π}{3} + π n$ .

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{π}{3} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 11

Encontre o domínio de $\tan (x) + \sqrt{3} \cot (x) - 1 - \sqrt{3}$ .

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Etapa 11.1

Defina o argumento em $\tan (x)$ como igual a $\frac{π}{2} + π n$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 11.2

Defina o argumento em $\cot (x)$ como igual a $π n$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x = π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 11.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

${x | x \neq \frac{π}{2} + π n, x \neq π n}$ $n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 12

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$\frac{π}{4} < x < \frac{π}{3}$

$\frac{π}{3} < x < \frac{5 π}{4}$

$\frac{5 π}{4} < x < \frac{4 π}{3}$

Etapa 13

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 13.1

Teste um valor no intervalo $\frac{π}{4} < x < \frac{π}{3}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 13.1.1

Escolha um valor no intervalo $\frac{π}{4} < x < \frac{π}{3}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 1$

Etapa 13.1.2

Substitua $x$ por $1$ na desigualdade original.

$\tan (1) + \frac{\sqrt{3}}{\tan (1)} < 1 + \sqrt{3}$

Etapa 13.1.3

O lado esquerdo $2.66954475$ é menor do que o lado direito $2.7320508$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 13.2

Teste um valor no intervalo $\frac{π}{3} < x < \frac{5 π}{4}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 13.2.1

Escolha um valor no intervalo $\frac{π}{3} < x < \frac{5 π}{4}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 2$

Etapa 13.2.2

Substitua $x$ por $2$ na desigualdade original.

$\tan (2) + \frac{\sqrt{3}}{\tan (2)} < 1 + \sqrt{3}$

Etapa 13.2.3

O lado esquerdo $- 2.97772599$ é menor do que o lado direito $2.7320508$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 13.3

Teste um valor no intervalo $\frac{5 π}{4} < x < \frac{4 π}{3}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 13.3.1

Escolha um valor no intervalo $\frac{5 π}{4} < x < \frac{4 π}{3}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 4$

Etapa 13.3.2

Substitua $x$ por $4$ na desigualdade original.

$\tan (4) + \frac{\sqrt{3}}{\tan (4)} < 1 + \sqrt{3}$

Etapa 13.3.3

O lado esquerdo $2.65377824$ é menor do que o lado direito $2.7320508$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 13.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$\frac{π}{4} < x < \frac{π}{3}$ Verdadeiro

$\frac{π}{3} < x < \frac{5 π}{4}$ Verdadeiro

$\frac{5 π}{4} < x < \frac{4 π}{3}$ Verdadeiro

$\frac{π}{4} < x < \frac{π}{3}$ Verdadeiro

$\frac{π}{3} < x < \frac{5 π}{4}$ Verdadeiro

$\frac{5 π}{4} < x < \frac{4 π}{3}$ Verdadeiro

Etapa 14

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$\frac{π}{4} + π n < x < \frac{π}{3} + π n$ or $\frac{π}{3} + π n < x < \frac{5 π}{4} + π n$ or $\frac{5 π}{4} + π n < x < \frac{4 π}{3} + π n$ , for any integer $n$

Etapa 15

Combine os intervalos.

$\frac{π}{3} + π n < x < \frac{5 π}{4} + π n or \frac{π}{4} + π n < x < \frac{π}{3} + π n or \frac{5 π}{4} + π n < x < \frac{4 π}{3} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 16