Trigonometria Exemplos

$\tan (\arcsin (\frac{5}{x}))$

Etapa 1

Desenhe um triângulo no plano com os vértices $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{5}{x})}^{2}}, \frac{5}{x})$ , $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{5}{x})}^{2}}, 0)$ e a origem. Então, $\arcsin (\frac{5}{x})$ será o ângulo entre o eixo x positivo e o raio que começa na origem e cruza $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{5}{x})}^{2}}, \frac{5}{x})$ . Portanto, $\tan (\arcsin (\frac{5}{x}))$ é $\frac{\frac{5}{x}}{\sqrt{1 - {(\frac{5}{x})}^{2}}}$ .

$\frac{\frac{5}{x}}{\sqrt{1 - {(\frac{5}{x})}^{2}}}$

Etapa 2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{5}{x} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{5}{x})}^{2}}}$

Etapa 3

Combine frações.

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Etapa 3.1

Combine.

$\frac{5 \cdot 1}{x \sqrt{1 - {(\frac{5}{x})}^{2}}}$

Etapa 3.2

Multiplique $5$ por $1$ .

$\frac{5}{x \sqrt{1 - {(\frac{5}{x})}^{2}}}$

Etapa 4

Simplifique o denominador.

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Etapa 4.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{5}{x \sqrt{1^{2} - {(\frac{5}{x})}^{2}}}$

Etapa 4.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 1$ e $b = \frac{5}{x}$ .

$\frac{5}{x \sqrt{(1 + \frac{5}{x}) (1 - \frac{5}{x})}}$

Etapa 4.3

Simplifique.

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Etapa 4.3.1

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{5}{x \sqrt{(\frac{x}{x} + \frac{5}{x}) (1 - \frac{5}{x})}}$

Etapa 4.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{5}{x \sqrt{\frac{x + 5}{x} (1 - \frac{5}{x})}}$

Etapa 4.3.3

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{5}{x \sqrt{\frac{x + 5}{x} (\frac{x}{x} - \frac{5}{x})}}$

Etapa 4.3.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{5}{x \sqrt{\frac{x + 5}{x} \cdot \frac{x - 5}{x}}}$

Etapa 4.4

Multiplique $\frac{x + 5}{x}$ por $\frac{x - 5}{x}$ .

$\frac{5}{x \sqrt{\frac{(x + 5) (x - 5)}{x \cdot x}}}$

Etapa 4.5

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{5}{x \sqrt{\frac{(x + 5) (x - 5)}{x^{2}}}}$

Etapa 4.6

Reescreva $\frac{(x + 5) (x - 5)}{x^{2}}$ como ${(\frac{1}{x})}^{2} ((x + 5) (x - 5))$ .

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Etapa 4.6.1

Fatore a potência perfeita $1^{2}$ de $(x + 5) (x - 5)$ .

$\frac{5}{x \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 5) (x - 5))}{x^{2}}}}$

Etapa 4.6.2

Fatore a potência perfeita $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{5}{x \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 5) (x - 5))}{x^{2} \cdot 1}}}$

Etapa 4.6.3

Reorganize a fração $\frac{1^{2} ((x + 5) (x - 5))}{x^{2} \cdot 1}$ .

$\frac{5}{x \sqrt{{(\frac{1}{x})}^{2} ((x + 5) (x - 5))}}$

Etapa 4.7

Elimine os termos abaixo do radical.

$\frac{5}{x (\frac{1}{x} \sqrt{(x + 5) (x - 5)})}$

Etapa 4.8

Combine $\frac{1}{x}$ e $\sqrt{(x + 5) (x - 5)}$ .

$\frac{5}{x \frac{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x}}$

Etapa 5

Combine $x$ e $\frac{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x}$ .

$\frac{5}{\frac{x \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x}}$

Etapa 6

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

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Etapa 6.1

Reduza a expressão $\frac{x \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x}$ cancelando os fatores comuns.

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Etapa 6.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{5}{\frac{x \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x}}$

Etapa 6.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{5}{\frac{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{1}}$

Etapa 6.2

Divida $\sqrt{(x + 5) (x - 5)}$ por $1$ .

$\frac{5}{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}$

Etapa 7

Multiplique $\frac{5}{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}$ por $\frac{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}$ .

$\frac{5}{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}} \cdot \frac{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}$

Etapa 8

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 8.1

Multiplique $\frac{5}{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}$ por $\frac{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}$ .

$\frac{5 \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{\sqrt{(x + 5) (x - 5)} \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}$

Etapa 8.2

Eleve $\sqrt{(x + 5) (x - 5)}$ à potência de $1$ .

$\frac{5 \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}^{1} \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}$

Etapa 8.3

Eleve $\sqrt{(x + 5) (x - 5)}$ à potência de $1$ .

$\frac{5 \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}^{1} {\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}^{1}}$

Etapa 8.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{5 \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}^{1 + 1}}$

Etapa 8.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{5 \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}^{2}}$

Etapa 8.6

Reescreva ${\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}^{2}$ como $(x + 5) (x - 5)$ .

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Etapa 8.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{(x + 5) (x - 5)}$ como ${((x + 5) (x - 5))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{5 \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{{({((x + 5) (x - 5))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 8.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5 \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{{((x + 5) (x - 5))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 8.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{5 \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{{((x + 5) (x - 5))}^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 8.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 8.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{5 \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{{((x + 5) (x - 5))}^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 8.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{5 \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{{((x + 5) (x - 5))}^{1}}$

Etapa 8.6.5

Simplifique.

$\frac{5 \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{(x + 5) (x - 5)}$