Trigonometria Exemplos

$\tan (\arcsin (2 x))$

Etapa 1

Desenhe um triângulo no plano com os vértices $(\sqrt{1^{2} - {(2 x)}^{2}}, 2 x)$ , $(\sqrt{1^{2} - {(2 x)}^{2}}, 0)$ e a origem. Então, $\arcsin (2 x)$ será o ângulo entre o eixo x positivo e o raio que começa na origem e cruza $(\sqrt{1^{2} - {(2 x)}^{2}}, 2 x)$ . Portanto, $\tan (\arcsin (2 x))$ é $\frac{2 x}{\sqrt{1 - {(2 x)}^{2}}}$ .

$\frac{2 x}{\sqrt{1 - {(2 x)}^{2}}}$

Etapa 2

Simplifique o denominador.

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Etapa 2.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{2 x}{\sqrt{1^{2} - {(2 x)}^{2}}}$

Etapa 2.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 1$ e $b = 2 x$ .

$\frac{2 x}{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - (2 x))}}$

Etapa 2.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{2 x}{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}$

Etapa 3

Multiplique $\frac{2 x}{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}$ por $\frac{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}$ .

$\frac{2 x}{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}} \cdot \frac{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}$

Etapa 4

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 4.1

Multiplique $\frac{2 x}{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}$ por $\frac{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}$ .

$\frac{2 x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)} \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}$

Etapa 4.2

Eleve $\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}$ à potência de $1$ .

$\frac{2 x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}^{1} \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}$

Etapa 4.3

Eleve $\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}$ à potência de $1$ .

$\frac{2 x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}^{1} {\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}^{1}}$

Etapa 4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2 x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}^{1 + 1}}$

Etapa 4.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{2 x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}^{2}}$

Etapa 4.6

Reescreva ${\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}^{2}$ como $(1 + 2 x) (1 - 2 x)$ .

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Etapa 4.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}$ como ${((1 + 2 x) (1 - 2 x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{{({((1 + 2 x) (1 - 2 x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 4.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{{((1 + 2 x) (1 - 2 x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 4.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{2 x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{{((1 + 2 x) (1 - 2 x))}^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 4.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{{((1 + 2 x) (1 - 2 x))}^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 4.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{2 x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{{((1 + 2 x) (1 - 2 x))}^{1}}$

Etapa 4.6.5

Simplifique.

$\frac{2 x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}$